Геометрия. 11 класс. Многообразие идей и методов : по- собие для учащихся общеобразоват учреждений с белорус и рус яз обучения / Н. М. Рогановский, Е. Н
жүктеу/скачать 9,35 Mb. Pdf көрінісі
|
fz geometr 11
§ 3. Пирамида 43. а) Постройте линейный угол двугранного угла при боковом реб ре: 1) правильного тетраэдра; 2) правильной треугольной пирамиды со стороной основания а и боковым ребром 2а; 3) правильной четырех угольной пирамиды, боковое ребро которой в 2 раза больше стороны основания. б) В правильной четырехугольнoй пирамиде угол между апофема ми противолежащих боковых граней есть линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями этих граней. Докажите это. в) В основании треугольной пирамиды лежит прямоугольный тре угольник. Все боковые ребра равны между собой. В какую точку плос кости основания ортогонально проектируется вершина пирамиды? г) Боковые грани треугольной пирамиды образуют равные двугран ные углы с плоскостью основания. В какую точку плоскости основания ортогонально проектируется вершина пирамиды? д) Докажите, что если в правильной треугольной пирамиде высота равна стороне основания, то боковые ребра составляют с плоскостью основания угол в 60 ° . е) Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна а, боковое ребро равно l. ж) В тетраэдре ABCD CD ^ AD, CD ^ BD. Двугранный угол при реб ре CD равен 120 ° , AD = BD = 2, CD = 1. Найдите двугранный угол при ребре АВ. з) В правильной четырехугольной пирамиде все ребра равны между собой. Найдите: 1) угол между боковым ребром и плоскостью основа ния; 2) двугранный угол при основании; 3) двугранный угол при боко вом ребре. и) В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро в 2 раза больше стороны основания. Найдите: 1) угол наклона бокового ребра к плоскости основания; 2) высоту пирамиды, если сторона основания а; 3) углы, которые образуют одно боковое ребро с остальными боко выми ребрами; 4) угол наклона боковых граней к плоскости основания; 5) углы, которые составляет плоскость одного диагонального сече ния пирамиды с плоскостями остальных диагональных сечений; 6) углы, которые образует одно боковое ребро со сторонами основа ния. — 147 — © НМУ « Национальный институт образования » © ОДО « Аверсэв » 44. а) Докажите, что двугранный угол при ребре правильного тетра эдра всегда больше 60 ° . б) Докажите, что двугранный угол при боковом ребре правильной четырехугольной пирамиды всегда больше 90 ° . в) Обобщите предыдущие задачи на правильную nугольную пира миду. 45. а) В правильный тетраэдр вписана треугольная призма так, что вершины верхнего основания являются серединами боковых ребер тетраэдра, а вершины нижнего основания призмы — ортогональные проекции вершин ее верхнего основания на плоскость основания тет раэдра. Постройте изображение данной комбинации тел. Найдите вы соту призмы, если ребро тетраэдра равно а. б) Основанием пирамиды служит прямоугольник, площадь которо го равна S. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны основанию, а две другие образуют с ним углы a и b . Найдите высоту пирамиды. в) В правильной пугольной пирамиде боковые грани наклонены к плоскости основания под углом b . Под каким углом наклонены к плоскости основания боковые ребра пирамиды? г) Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирами ды равны 5 и 2, боковое ребро равно 2. Найдите: 1) высоту пирамиды; 2) ее апофему; 3) угол наклона бокового ребра к плоскости нижнего ос нования; 4) косинус угла наклона апофем к плоскости нижнего основа ния; 5) высоту полной пирамиды. д) В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны ос нований 3 и 5, высота 3. Постройте сечение, проходящее через противо лежащие стороны оснований. Найдите его площадь. Чему равен угол между плоскостью сечения и плоскостью нижнего основания? 46. Биссeктор двугранного угла тетраэдра делит противолежащее ребро в отношении, равном отношению площадей граней, образующих этот двугранный угол. Докажите это и сформулируйте аналогичный планиметрический факт. Обозначения: a — угол между боковым ребром и плоскостью основания; b — угол наклона боковых граней к плоскости основания; g — плоский угол при вершине пирамиды; d — двугранный угол при боковом ребре. — 148 — © НМУ « Национальный институт образования » © ОДО « Аверсэв » 47. Докажите, что для правильной треугольной пирамиды справед ливы следующие формулы: 1) tg a = 1 2 tg b ; 2) cos a = 2 3 sin g 2 ; 3) sin a = 1 3 ctg 2 d ; 4) cos b = 1 3 tg 2 g ; 5) sin b = 2 3 cos 2 d ; 6) cos 2 g × sin d 2 = 1 2 . 48. Докажите, что для правильной четырехугольной пирамиды справедливы формулы: 1) tg a = 1 2 tg b ; 2) cos a = 2 sin g 2 ; 3) sin a = ctg 2 d ; 4) cos b = tg 2 g ; 5) sin b = 2cos 2 d ; 6) cos 2 g × sin d 2 = 1 2 . 49. Докажите, что для правильной nугольной пирамиды выполня ются равенства: 1) tg жүктеу/скачать 9,35 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|