Лекция Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений
жүктеу/скачать 1,95 Mb.
|
Лекции Word
|
Лекция 1. Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений (1) правая часть которой не зависит от переменного – t. Системы дифференциальных уравнении вида (1) называются динамическими или автономными. Предположим, что функция f(x) непрерывна на некотором открытом множестве D пространства переменных и удовлетворяет условию Липшица в любом замкнутом ограниченном множестве, целиком содержащемся в D. Тогда, в силу теорем существования и единственности, для любого действительного числа t0 и для любой точки x0 D будет существовать единственное решение системы уравнений (1), удовлетворяющее условию . Заметим, что если задана нормальная система дифференциальных уравнений то, вводя новую неизвестную функцию xn+1 = t, ее можно записать в виде динамической системы в пространстве переменных ': n+1=1. В пространстве переменных любое решение динамической системы (1) определяет кривую. Эту кривую с заданным на ней параметром t будем называть траекторией. Само пространство переменных называется фазовым пространством. В каждой точке x D определен вектор f(x) т. е. динамическая система (1) определяет векторное поле на множестве D. Пусть —решение системы (1), определенное на некотором интервале а < t (2) Трактуя t как время, мы можем придать соотношению (2) следующий геометрический смысл: кривая в множестве D является траекторией системы (1) тогда и только тогда, когда в каждой ее точке скорость равна значению векторного поля f(x) в этой точке. жүктеу/скачать 1,95 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|