Лекция Рассмотрим нормальную систему дифференциаль­ных уравнений

<p(t,-h)
Геометрически очевидно (рис. 49), что точки и ле­жат по разные стороны кривой Q; будем считать, что первая принад­лежит области а вторая — об­ласти . Через отрезок все траектории входят из области в область . Таким образом, ни одна траектория не может выйти из об­ласти через этот отрезок. Войти или выйти в область через кри­вую М никакая траектория также не может, так как М есть кусок траектории, а траектории не могут пересекаться между собой. Так как кусок М траектории пе­ресекается с отрезком L только в своих концах, то концы от­резка L лежат по разные стороны кривой Q. Обозначим через а тот конец отрезка L, который лежит в области . Траектория , начиная с , вся протекает в области и не может пере­секать отрезок поэтому точка b не принадлежит отрезку (см. А)), и, следовательно, она должна лежать на отрезке . Если теперь — следующая (во времени) после точка пересе­чения траектории с отрезком L то из аналогичных соображений

видно, что она лежит на отрезке (рис. 49). Обозначая через

следующие друг за другом (во времени) точки пересечения траекто­рии с отрезком L, мы убедимся, что они образуют на отрезке L монотонную последовательность точек, идущих в направлении от к b. Покажем, что предел b’ последовательности совпадает с b.
Для этого мы, прежде всего, докажем, что последовательность неограниченно возрастает. Допустим, что
^{Тогда и а это} невозможно, так как вектор направлен вдоль отрезка L, а вектор не коллинеарен этому отрезку. Таким образом, должно быть выполнено соотношение , и потому вся траектория при пересекается с L лишь в точках Следовательно, эта траектория имеет на отрезке L лишь одну -предельную точку b’ (см. А)), так что b’=b. Отметим, что в проведенном доказательстве было пока использовано лишь то, что сама точка b не является положением равновесия.
Покажем теперь, что траектория не может входить в -предельное множество для какой-либо другой траектории - Допустим противоположное. Тогда каждая точка траектории является -предельной для (см. Г)); в частности, таковой будет точка . Так как точка не является положением равновесия, то в силу доказанного выше последовательные точки

пересечения траектории с отрезком L образуют монотонную последовательность, сходящуюся к и других -предельных точек траектории на отрезке L не существует. Но это противоречит тому, что все точки лежащие на траектории , являются -предельными точками траектории .
Итак, доказано, что незамкнутая траектория, среди -предель­ных точек которой нет положений равновесия, не может быть сама -предельной.
Так как траектория К содержится в -предельном множестве траектории , а это множество замкнуто (см. Г)), то все -предельные точки траектории К содержатся в и потому не являются положениями равновесия. Таким образом, к траектории К можно применить доказанное выше предложение, так что траектория К должна