Лекция Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений
жүктеу/скачать 1,95 Mb.
|
Лекции Word
| Лекция 2.
Пусть
— автономная нормальная система уравнений порядка n и — векторная ее запись. Решение системы (1) вида , где а—постоянный вектор, называется положением равновесия (или точкой покоя). Очевидно, что если — положение равновесия, то f(a)=0, и наоборот, если f(a)=0, то — положение равновесия. Пусть —решение динамической системы (1), определенное при . Число c называется периодом решения , если при всех t. Обозначим через F множество всех периодов решения (это множество непусто, так как ). Докажем следующие свойства множества F. 1. Если , то . Доказательство. Так как с период, то . Заменяя в этом равенстве t на , получим , т.е. –с является периодом. 2. Если , то . Доказательство следует из равенств 3. F — замкнутое множество. Доказательство. Пусть —сходящаяся последовательность периодов и . Тогда в силу непрерывности имеем Таким образом, и, следовательно, F — замкнутое множество. Теорема. Пусть траектория динамической системы (1) сама себя пересекает. Тогда решение может быть продолжено на интервал и имеет место одна из следующих возможностей: 1) , т. е. решение является положением равновесия; 2) существует такое число Т > 0, что при всех t, но при . В случае 2) решение называется периодическим, а его траектория—замкнутой траекторией или циклом. Доказательство. Пусть решение определено при а < t < b. По предположению траектория решения сама себя пересекает, т. е. существуют такие числа , что В силу свойства 2 решений динамических систем, , (2) (2) где - Функция является решением системы (1), определенным при а — с < t < b — с, и, кроме того, в силу (2), эти решения совпадают на общей части их областей определения, т. е. при а < t< b — с. Следовательно, решение является продолжением решения на интервал (а — с,b). Последовательно повторяя описанную процедуру, получим продолжение решения , определенное на интервале . С помощью равенства , которое получается из (2) заменой t на t — с, получим продолжение решения с интервала на всю числовую ось . Итак, решение можно считать определенным при < t < , причем, как явствует из самого способа продолжения, постоянная является периодом этого решения. Пусть F — множество периодов решения . Могут представиться две возможности: а) F содержит сколь угодно малые положительные числа, б) в F найдется наименьшее положительное число Т. В случае а) существует сходящаяся к нулю последовательность положительных периодов . Пусть t — произвольное действительное число. Дробные части чисел образуют ограниченную последовательность, а так как , то Числа будучи целыми кратными периодов , сами являются периодами решения . Поэтому . (3) '3> Переходя в равенстве (3) к пределу при , получим . Таким образом, решение в случае а) является положением равновесия. В случае б) Покажем, что при 0 < | |< Т. Предположим противное. Тогда найдутся такие , (0 < | |< Т), что . В силу свойства 2, где . Таким образом служит периодом решения . В силу свойства 1 множества F, положительное число | |= также является периодом, а это противоречит предположению, что Т—наименьший положительный период решения . Теорема доказана. Из доказанной теоремы непосредственно получаем следующее Следствие. Траектория любого непродолжаемого решения динамической системы (1) может быть либо положением равновесия, либо замкнутой траекторией, либо траекторией без самопересечений. жүктеу/скачать 1,95 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|