Лекция Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений
жүктеу/скачать 1,95 Mb.
|
Лекции Word
| Теорема 11. Всякое локально-компактное метрическое пространство R со счётной базой может быть представлено как сумма счётной возрастающей последовательности замкнутых компактных множеств:
Пусть { } есть счётная база пространства R. Заметим прежде всего, что её можно заменить счётной же базой па окрестностей, замыкания которых компактны. В самом деле, пусть p R любая точка, у неё из условия найдётся окрестность V(p) такая, что компактна; а так как {Un} составляет базу, то найдётся окрестность такая, что p V(p). Очевидно, так как , то множество компактно. Совокупность всех окрестностей, обладающих этим свойством, имеет мощность счётную, как часть совокупности { }. Она составляет, как легко видеть, базу пространства R. Назовём эту базу { }. Теперь нетрудно доказать теорему. В самом деле, определяем Очевидно, — компактные множества, , и так как, по определению базы, , то и подавно Теорема доказана. Лекция 15. Устойчивость по Пуассону Определение. Точка р называется положительно устойчивой по Пуассону (обозначение: устойчивая ), если для любой окрестности U точки p и для любого Т > 0 найдётся значение такое, что . Аналогично, если найдётся такое , что , то точка р отрицательно устойчива по Пуассону (обозначение ). Точка, устойчивая по Пуассону как при , так и при , называется (просто) устойчивой по Пуассону (устойчивая Р). Можно сказать, таким образом, что точка р устойчива , если найдутся сколь угодно большие значения t, при которых точка оказывается в любой окрестности своего начального положения. Примечание. Можно ослабить в условии устойчивости требование: при некотором t, большем любого заданного Т; достаточно потребовать, чтобы для любой окрестности нашлось значение такое, что . В самом деле, допустим, что при выполнении этого условия точка р неустойчива . Это значит, что найдётся такая окрестность и такое число Т > 1, что для . Рассмотрим дугу траектории . Если для некоторого t , то движение периодическое, и утверждение доказано. Если то рассматриваемая дуга, будучи замкнутым множеством, находится на конечном расстоянии от точки р, и найдётся окрестность , не имеющая общих точек с этой дугой. Но в таком случае полутраектория не имеет общих точек с , что противоречит новому определению. Теорема 1. Если точка р устойчива , то всякая точка траектории тоже устойчива . Для доказательства заметим, что данное выше определение устойчивости равносильно следующему: существует последовательность значений , таких, что . В самом деле, из последнего свойства первое следует непосредственно; обратно, если первое свойство выполнено, то для любой последовательности , найдутся числа такие, что . Очевидно, , и , т.е. выполняется второе определение. Рассмотрим теперь произвольную точку траектории . В силу II свойства динамической системы имеем: , т.е. точка устойчива . Теорема доказана. Аналогичная теорема имеет место для устойчивости и устойчивости P. Таким образом, в дальнейшем мы будем говорить о движении и траекториях, положительно, отрицательно и просто устойчивых по Пуассону. Условие, что устойчиво , очевидно, может быть записано так: ; условие устойчивости . Выполнение обоих условий одновременно эквивалентно устойчивости Р. Очевидно, что точка покоя представляет движение устойчивое Р. В самом деле, в таком случае для , т. е. , и условие устойчивости Р выполнено. Другим примером устойчивости Р движений являются движения периодические: , где постоянное. В самом деле, мы имеем: (n=± 1, ±2, ...). Таким образом, для точка совпадает со своим начальным положением, т. е. попадает в любую окрестность U (р). На плоскости единственными траекториями, устойчивыми Р, являются точки покоя и траектории периодических движений. Пример 1. Простейший пример устойчивого Р движения, отличного от покоя и периодического движения, есть движение на поверхности тора , если и целые], определяемое дифференциальными уравнениями (1) где — положительное иррациональное число (см. Введение, § 3). Здесь траектория каждого движения всюду плотна на торе; каждое движение устойчиво Р; множества и для всякой точки совпадают с поверхностью тора. Пример 2. Определим движения на торе уравнениями (2) где непрерывная функция на торе (периодическая по аргументам с периодом 1), всюду положительная, кроме точки (0,0): Ф (0, 0) = 0, и удовлетворяющая условиям Липшица. Кривые, по которым совершаются движения, остались те же, что в системе (1), так как они определяются дифференциальными уравнениями но характер движения изменился. На кривой имеют место три движения: 1) , (покой): 2) движения по положительной дуге: 0<©< +-00; для этих движений положительная полутраектория всюду плотна на торе и поэтому устойчива , отрицательная полутраектория при стремится к точке покоя (0, 0), они устойчива ; 3) движения по отрицательной дуге: - ; они устойчивы и неустойчивы , так как движущаяся точка при стремится к точке покоя. Все остальные траектории остались те же, что в системе (1), так как вдоль них ; они всюду плотны на и, следовательно, устойчивы Р в обе стороны; однако, движения по этим траекториям уже неравномерные - скорость равна , движение замедляется при прохождении около точки (0, 0). Пример 3. Слегка усложняя пример 2, можно построить систему, обладающую: движениями, устойчивыми Р (включая точки покоя), и движениями, неустойчивыми Р ни в одну сторону. Для этого на меридиане тора построим счётное множество точек покоя, которые лежат на кривой и имеют единственной предельной точкой (0, 0). Если, например, разложить а в бесконечную непрерывную дробь и выписать её последовательные подходящие : то можно в качестве точек покоя взять точки с координатами соответственно (mod 1) (0 < < 1); (mod 1) (0 < < 1). Мы будем иметь (так как и целые): и аналогично для Непрерывную, удовлетворяющую условию Липшица функцию строим так, чтобы она была положительна всюду, кроме множества точек (0,0), (0, ), (0, ) (к = 1, 2, ...), где она обращается в 0. Соответствующие уравнения вида (2) будут обладать теми же траекториями, что уравнения (1), т. е. устойчивыми Р, за исключением траекторий, лежащих на кривой . Эта последняя разобьётся на счётное множество дуг: разделённых точками покоя. На каждой такой дуге, например, движение будет неустойчивым Р (в обе стороны), так как при оно приближается к точке покоя , и аналогично при оно приближается к точке , . жүктеу/скачать 1,95 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|