Теорема 5. (Бар). Если в пространстве со счётной базой имеется вполне упорядоченная последовательность вложенных друг в друга замкнутых множеств, которые все различны, то мощность этой последовательности не выше счётной.
Пусть имеем последовательность замкнутых множеств:
причём по условию есть истинная часть множества Fа.
Рассмотрим возрастающую последовательность открытых множеств
где Gа =R- Fа . Пусть { Un } есть счётная база пространства R. Для любого α найдется точка (эта разность не пуста, так как она равна ) содержащая её окрестность из базы . Очевидно, не содержится целиком в . В силу этого двойного свойств, если , то .Так как мощность базы счётная, то множество индексов α в последовательности (F) не более, чем счётно, откуда и следует теорема.
Итак, последовательность (F) имеет тип натурального числа или трансфинитного числа II класса. Если в последовательности (F) допускать возможность равенства , то из теоремы следует, что, начиная с некоторого числа не выше II класса, мы будем иметь: (Fа может быть пусто).
Достарыңызбен бөлісу: |
