Лекция Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений
жүктеу/скачать 1,95 Mb.
|
Лекции Word
| Лекция 14.
Классическая теория динамических систем рассматривала движения, определённые системой дифференциальных уравнений (1) где правые части являются непрерывными функциями точки в некоторой замкнутой области D n-мерного евклидова «фазового пространства». Сверх того предполагалось, что эти функции удовлетворяли дополнительному условию, обеспечивающему единственность решения, определённого начальными данными: , где есть начальная точка движения; таким достаточным условием является, например, условие Липшица. В этом случае был доказан ряд общих свойств движении, определённых системой (1): всякое решение или может быть неограниченно продолжаемо при или достигает при конечном значении t=T границы области D; всякое решение является непрерывной функцией от времен tи координат начальной точки; наконец, поскольку правые части уравнении (1) не зависят от времени, то если движение, начинающееся в точке р, в момент t1 достигает точки p1, а движение, начинающееся в p1 в момент t2 достигает точки p2, то первое движение достигает точки р2 в момент t1+t2 (свойство группы). При наиболее общих исследованиях динамических систем представляется целесообразным отвлечься от определения динамической системы при помощи дифференциальных уравнений (1) и ввести абстрактное определение динамической системы, которое включает все те её свойства, которые должны быть использованы при доказательстве теорем. Наконец, если идти дальше по этому пути абстракции, нет оснований ограничиться n-мерным евклидовым пространстве Еп. В самом деле, при доказательствах мы будем пользоваться только некоторыми свойствами пространства; поэтому естественно аксиоматически определить такие возможно более общие пространства, в которых задаётся динамическая система и в которых её свойства будут те же, что и в обычном евклидовом пространстве. Все теоремы, полученные на этом путы абстракции, в качестве частного случая, будут иметь место для систем, заданных уравнениями (1) в Еп (или в его части, например, в компактном подмножестве, если теорема доказана для компактного абстрактного пространства). Метрическим пространством R называется множество элементов (точек), в котором для каждой пары точек определена неотрицательная функция ρ(р, q)— расстояние, удовлетворяющая трём аксиомам: І. ρ(р, q)≥0, причём ρ(р, q)= 0 тогда и только тогда, когда p=q; II. ρ(р, q)= ρ(q,р) — аксиома симметрии; III. ρ(р, r)≤ρ(q,р)+ ρ(q,r) — аксиома треугольника 2). Если А любое множество в R, то расстояние от точки р до множества А определяется, как нижняя грань расстояний до точек множества А: ρ (А,р) = ρ (р,А) = . Последовательность точек р1, р2, ..., рn, ... сходится к точке p, если в таком случае мы будем писать: или Имеет место соотношение: если и q—любая точка, то Это следует из аксиомы III: Точка р называется предельной для множества А, если существует последовательность такая, что . Очевидно, что в этом случае ρ(p, A)=0. Обратно, если выполняется последнее равенство, то или или р является предельной для А. Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Пустое множество и множество из конечного числа точек не имеют предельных точек и являются замкнутыми. Дополнение к замкнутому множеству называется открытым множеством. Введём обозначение: множество точек , удовлетворяющих неравенству , где , а ε — любое положительное число, мы будем обозначать S (р0, ε) и называть сферой радиуса ε вокруг точки р0. Аналогично, множество точек р таких, что , будем обозначать через S(А,ε) и называть ε-окрестностью множества А. Если F — замкнутое множество в — F, то . В самом деле, допустив ρ(р, F) = 0, мы имеем , значит, существует последовательность такая, что , а тогда р является предельной точкой для F, т. е. в силу замкнутости F мы имели бы: , против предположения. Отсюда непосредственно следует: если G открытое множество и , то существует такое ε > 0, что , т. е. каждая точка входит в открытое множество вместе с некоторой окружающей её сферой. Это свойство характерно для открытого множества. Пусть в самом деле G обладает тем свойством, что для любой точки найдётся ε>0 такое, что . Покажем, что R—G есть замкнутое множество. Если R—G пусто или содержит конечное число точек, теорема очевидна. Если R—G содержит бесконечное число точек и существует сходящаяся последовательность то в силу определения сходимости для любого ε > 0 найдётся такое рn, что , т. е. . Таким образом, в любой сфере, содержащей точку , найдутся точки , значит не есть точка G. Таким образом, , т. е. R—G замкнутое множество, a G — открытое. Из этого критерия сразу следует, что есть множество открытое, так как, если , то и в силу аксиомы III: Имеют место теоремы: жүктеу/скачать 1,95 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|