Лекция Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений
жүктеу/скачать 1,95 Mb.
|
Лекции Word
- Бұл бет үшін навигация:
- Индекс изолированной особой точки.
- Лемма
- Теорема
- Теорема28.
- Индекс как криволинейный интеграл
| часть области G, ограниченная простыми замкнутыми кривыми С, С1 С2, . . ., Сп (рис. 119), причем С — внешняя граница области Г, и если в области Г нет особых точек системы (I), то
I(C)=I(C1) + I(C2) + ...+I(Cn). Доказательство непосредственно следует из предыдущей теоремы, если провести указанные на рис. 119 «разрезы» и воспользоваться аддитивностью вращения. Индекс изолированной особой точки. Рассмотрим в плоской области G простую замкнутую кривую С, внутри которой лежит особая точка О системы (1), и предположим, что ни внутри С, ни на ней самой нет других особых точек поля. Докажем, что индекс любой такой кривой один и тот же. Пусть имеются две такие кривые С и С' (рис. 120). Предположим сначала, что эти кривые не имеют общих точек. Тогда в силу теоремы 26 I(С')=I(С), и наше утверждение доказано. В случае, когда кривые С и С' имеют общие точки, можно взять вспомогательную кривую С", не имеющую общих точек ни с С, ни с С' (например, окружность с центром в О, достаточно малого радиуса). Тогда I(С)=I(С") и I(С')=I(С"), т. е. I(С')=I(С). О пределение XIII. Индексом (или индексом Пуанкаре) изолированной особой точки О векторного поля , соответствующего динамической системе, или индексом состояния, равновесия системы (I), называется индекс любой замкнутой кривой С, содержащей внутри себя точку О, причем такой, что ни внутри С, ни на ней самой нет других особых точек поля . Мы будем обозначать индекс изолированной особой точки О системы (1) через I(О). Лемма 1. Пусть Г — часть области G, ограниченная простой замкнутой кривой С, содержащая п особых точек О1, О2, . . ,Оп динамической системы, причем все эти точки лежат внутри С. Тогда индекс кривой С равен сумме индексов особых точек, заключенных внутри С: Справедливость леммы непосредственно следует из теоремы 26 и из определений индекса замкнутой кривой и особой точки. Лемма 1 очевидным образом обобщается на случай, когда Г является многосвязной областью. Из этой леммы мы сразу получаем ряд предложений о динамической системе: Теорема27. Пусть С — простая замкнутая кривая в области G, а Г— внутренняя область, ограничиваемая ею. Если Г целиком принадлежит G и содержит конечное число состояний равновесия, а на кривой С их нет совсем, то индекс кривой С равен сумме индексов всех состояний равновесия, расположенных внутри С (т.е. в Г). Теорема 27 просто обобщается на случай многосвязной области Г, расположенной в G. Из теоремы 24 и ее следствия мы получаем теорему: Теорема28. Индекс любой замкнутой траектории динамической системы равен +1. Теорема29. Индекс любого цикла без контакта динамической системы равен +1. Следствие 1. Если L — замкнутая траектория динамической системы, внутренность которой целиком принадлежит области G, то сумма индексов состояний равновесия, лежащих внутри L, равна +1. Следствие 2. Если внутренность замкнутой траектории L принадлежит G, то внутри L имеется по крайней мере одно состояние равновесия системы *). Следствие 3. Если внутренность цикла без контакта С принадлежит области G, то сумма индексов состояний равновесия, лежащих целиком внутри С, равна +1. Следствие 4. Если внутренность цикла без контакта С принадлежит области G, то она содержит по крайней мере одно состояние равновесия системы. Индекс как криволинейный интеграл. В случае, когда С является простой гладкой замкнутой кривой и на ней не лежит ни одной особой точки системы (I), индекс кривой С можно представить в виде криволинейного интеграла. Покажем это. Пусть — параметрические уравнения кривой С. Мы предполагаем, что функции ) и определены для значений , и непрерывно дифференцируемы, причем и что возрастанию о соответствует обход кривой С в положительном направлении. В силу предположений относительно системы (I) функции Р(х,у) и Q(х,у) имеют непрерывные производные. Далее, в силу того, что по условию на кривой С не лежит ни одного состояния равновесия, во всех точках кривой С. Пусть — какая-нибудь угловая функция векторного поля, индуцированного на кривой С динамической системой (I). Рассмотрим какое-нибудь значение . Если то такое же неравенство будет выполняться для всех , достаточно близких к , и, очевидно (см. определение угловой функции), при всех этих где r —постоянное число (целое). Следовательно, Если то , и в окрестности точки функция отличается постоянным слагаемым от Следовательно, формула (1) справедлива и в этом случае, т. е. она имеет место для всех , Тогда И следовательно, индекс кривой С относительно поля Интеграл, стоящий в правой части последней формулы, есть, очевидно, криволинейный интеграл взятый по кривой С, обходимой в положительном направлении; мы будем для краткости обозначать его через Таким образом, мы получаем формулу жүктеу/скачать 1,95 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|