Лекция Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений
жүктеу/скачать 1,95 Mb.
|
Лекции Word
- Бұл бет үшін навигация:
- второго
| Так как функция W(x) удовлетворяет условию (17), то мы имеем:
Выберем теперь настолько малое положительное число Ь, чтобы при (29) вектор х принадлежал множеству (такое число b существует в силу (13)). Вторые производные будучи непрерывными функциями, ограничены в эллипсоиде (29) и потому в этом эллипсоиде где k — некоторая константа. Далее, так как есть линейная форма относительно , то где l — некоторая константа (см. (14)). Таким образом, существует такое положительное число q, что при W(x) b мы имеем: Выберем теперь положительное число с таким образом, чтобы было Тогда мы будем иметь: если только выполнено неравенство Полагая = , получаем неравенство справедливое, если дли х выполнено неравенство (30). Пусть ξ — внутренняя точка эллипсоида (30), т. е, точка, удовлетворяющая неравенству W (ξ) < с. (31) Решение системы (27) с начальными значениями 0, &, как и раньше, обозначим через и положим: Функция определена для всех тех значений t 0, для которых определено решение , и в силу Б) она удовлетворяет условию (32) до тех пор, пока для нее выполнено неравенство (33) Если бы решение существовало не для всех положительных значений t, то точка х = непременно должна была бы при возрастающем t покинуть эллипсоид (30) (см. § 22, В), Допустим, что точка х = покидает этот эллипсоид и пусть — то значение t, при котором она впервые попадает на его границу. Тогда на отрезке точка принадлежит эллипсоиду (30), в потому выполнено неравенство (32), так что неположительно. Следовательно, c = , что противоречиво. Таким образом, решение а вместе с ним и функция определены для гсех положнтел: пых значений t и для всех этих значений выполнено неравенство (32). Если, то , и мы можем произвести следующие выкладки, исходя из неравенства (32) Последнее неравенство дает: Из эіого неравенства, используя неравенства (13), мы получаем1. (34) причем это верно, если только для выполнено неравенство (31). В силу второго из неравенств (13), из соотношения (35) жүктеу/скачать 1,95 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|