Определение: Множество называется всюду плотным в R, если .
Теорема 3. В метрическом пространстве со счётной базой существует счётное всюду плотное множество. В самом деле, в каждой окрестности Un отметим одну точку (среди точек рп могут быть и равные). Тогда {рп} и есть искомое всюду плотное множество. Пусть, в самом деле, произвольная точка и ε > 0 произвольное число. Для отрытого множества , в силу определения базы, найдется Un такое, что , а тогда для имеем: что и доказывает теорему.
Теорема 4. Если метрическое пространство R обладает счётным всюду плотным множеством, то в нем существует счётная база, все окрестности которой сутъ сферы.
В самом деле, возьмём счётное множество всех положительных рациональных чисел и счётное всюду плотное множество {рп} и построим счётное множество сфер Это и есть искомая база. Действительно, пусть U(р) — любая окрестность точки р. По свойству открытого множества существует ε > 0 такое, что далее найдутся точка и рациональное число где . Тогда мы имеем:
Достарыңызбен бөлісу: |
