Лекция Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений
жүктеу/скачать 1,95 Mb.
|
Лекции Word
- Бұл бет үшін навигация:
- Теорема В.
| Теорема А. Пересечение любого множества замкнутых множеств есть замкнутое множество {может быть пустое).
Пусть где —замкнутые множества. Допустим, что и рп—>р; покажем, что . Из условия следует, что для любого множества Fa мы имеем , а тогда в силу замкнутости Fa также значит Переходя от замкнутых множеств Fa к их дополнениям, открытым множествам G =R- Fa, получаем: Теорема В. Сумма любого множества открытых множеств есть открытое множество (может быть всё пространство R). Пусть любое множество. Множество А, получаемое присоединением к А всех его предельных точек, называется замыканием множества А. Для всякого множества А мы имеем: ; для замкнутого множества F имеем: Теорема 1. Замыкание любого множества А есть замкнутое множество, т. е. . В самом деле, пусть есть сходящаяся последовательность: рп—>р ; покажем, что . Пусть ε>0 произвольно задано. Из определения сходимости следует, что найдётся точка рп с расстоянием ρ(р0, рп) <ε /2. Так как , то она или входит в А или является предельной точкой для А; в обоих случаях существует точка такая, что ρ(q, рп) < . В силу аксиомы III получаем ρ(p0,q) <ε, т.е. p0 является предельной точкой множества А, иными словами, , что и требовалось доказать. Легко убедиться, что Иногда мы будем рассматривать множество точек р, удовлетворяющих условию ; мы будем называть это множество замкнутой сферой радиуса ε около точки р0 и обозначать S [p0,ε]. Легко показать, что это множество замкнутое (если и , то ) но оно может и не быть замыканием открытой сферы . Вот пример: R есть множество чисел х, удовлетворяющих условиям: или ; расстояние определяется, как обычно, на числовой прямой: Тогда S (0, 1) = [0, 1), т.е. множество ,его замыкание- есть [0,1], а замкнутая сфера S [0,1] = [0,1]+(-1). Множество называется связным, если его нельзя представить в виде суммы Е=А+В, где А и В не пусты и , т. е. Е нельзя представить так, чтобы каждое слагаемое не имело предельных точек на другом. Если же такое разложение возможно, то множество Е называется несвязным, А и В — его компонентами. Из определения следует, что замкнутое связное множество не может быть представлено как сумма двух замкнутых непустых множеств без общих точек; в самом деле, мы имели бы: т. е. , т. е. F — несвязное множество. жүктеу/скачать 1,95 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|