Лекция Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений
Вычисление индексов простых состояний равновесия динамической системы
жүктеу/скачать 1,95 Mb.
|
Лекции Word
| Вычисление индексов простых состояний равновесия динамической системы. Пусть (I) —динамическая система класса C1. Мы предполагаем, что рассматриваемое состояние равновесия находится в начале координат. Тогда система (I) может быть записана в виде
Где a,b,c,d – значение первых частных производных от P(x,y) и Q(x,y) в точке (0,0). Мы предпологаем , что С – простое состояние равновесия, поэтому Как мы знаем , и (см. § 5). Обозначим через v векторное поле, определяемое системой (5). Рассмотрим систему и через v* обозначим векторное поле, определяемое системой (6). Обозначим через I(О,v) индекс состояния равновесия системы (5) и через I(О,v*) —индекс состояния равновесия системы (6). Докажем прежде всего, что I(О,v)=I(О,v*). Поле v* определено, очевидно, на всей плоскости. В силу условия вектор v*(ax+by,cx+dy) равен нулю только при х=у=0. Поэтому в точках единичной окружности g=1, v* отличен от нуля. Обозначим через т минимум |v*| на этой окружности. В любой другой точке плоскости так как точка лежит на единичной окружности . С другой стороны, Рассмотрим окружность Ср радиуса g c центром в начале координат. Пусть точка (х,у) Ср и пусть — наименьший по абсолютной величине угол между вектором v (ж, у) и v* (х, у). Из рис. 121 ясно, что т . e. при . С другой стороны, при малых g не может быть тупым углом, так как этот угол лежит против наименьшей стороны треугольника. Отсюда следует, что при . Поэтому если g достаточно мало, то ни в одной точке окружности Ср векторы v и v* не имеют противоположных направлений. Заметив теперь, что если q достаточно мало, то и воспользовавшись леммой 2, мы сразу убедимся, что Таким образом, задача о вычислении индекса простых состоянии равновесия О системы (5) свелась к задаче о вычислении индекса состояния равновесия О линейной системы (6). Замечание. Проведенное рассуждение остается справедливым и в том случае, когда рассматриваемая система (I) имеет вид где , — однородные многочлены k-й степени и обращается в нуль только в точке O(0,0). Индекс состояния равновесия O такой системы равен индексу состояния равновесия системы Возвращаемся к поставленной задаче. Нам нужно теперь вычислить индекс состояния равновесия О системы (6). С этой целью воспользуемся формулой (4) и в качестве замкнутой кривой С, содержащей внутри состояние равновесия О, возьмем эллипс Таким образом, где С’ — эллипс (7), обходимый в положительном направлении. Если положить, что то эллипс С перейдет в окружность плоскости . На этой окружности введем обычную параметризацию, положив . Заметим, что при возрастании от 0 до 1 окружность пробегается один раз в положительном направлении. Эллипс С пробегается в положительном направлении, если , и в отрицательном, если. . Поэтому при а при Полученный результат мы сформулируем в следующем виде: Теорема30, Индекс простого состояния равновесия динамической системы равен +1 в случае узла или фокуса и ранен -1 в случае седла. жүктеу/скачать 1,95 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|