Лекция Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений
жүктеу/скачать 1,95 Mb.
|
Лекции Word
- Бұл бет үшін навигация:
- | |>δ, δ > 0 .
| следует неравенство (31). Таким образом, если выполнено неравенство (35), то верно неравенство (34). Извлекая из него квадратный корень, получаем неравенство:
которое совпадает с неравенством (26), причем , а = 0. Итак, теорема доказана. Лекция 10. Поведение траекторий вблизи седла Теорема 22. Предположим, что положение равновесия O = (0, 0) системы (1) является седлом. Пусть P — прямая, проходящая через точку О в направлении собственного вектора матрицы ( ) с отрицательным собственным значением. Тогда (рис. 58) существуют ровно две траектории и и системы (1), которые при асимптотически приближаются к точке О. Э ти траектории вместе с точкой О образуют непрерывную дифференцируемую кривую U, касающуюся прямой Р в точке О. Точно так же существуют ровно две траектории и системы (1), которые при асимптотически приближаются к точке О; эти траектории вместе с точкой O образуют непрерывную дифференцируемую кривую V, касающуюся прямой Q в точке О. Остальные траектории системы (1), проходящие вблизи точки О, ведут себя, в общем, так же, как в случае линейного уравнения (см. § 16). Траектории и называются устойчивыми усами седла O, а траектории и называются неустойчивыми усами седла O. Доказательство. Прежде всего примем прямую Р за ось абсцисс, а прямую Q — за ось ординат; тогда система (1) запишется в виде (5). Переходя снова к обозначениям x и у вместо , мы получим систему уравнений (7) где r(х, у) и s(x,y) имеют вид (4); здесь λ>0, μ<0. Отметим для дальнейшего, что в последующем доказательстве будут использованы лишь следующие свойства правых частей системы (7): непрерывная дифференцируемость правых частей по x и y и ограниченность функций и (см. (4)) вблизи начала координат. Доказательство распадается на две главные части: а) доказательство существования уса , подходящего к точке О вдоль положительной части оси абсцисс при убывании координаты x; б) доказательство его единственности. Существование и единственность уса доказываются аналогично. Для рассмотрения усов и достаточно изменить знак времени t: при этом устойчивые усы перейдут в неустойчивые и наоборот. П ерейдем к доказательству существования уса . Для этого положим: (a > 0) и рассмотрим в плоскости (x, y) параболу, определяемую уравнением (8) Парабола (8) разбивает, плоскость на две части: положительную, содержащую положительную полуось ординат, и отрицательную. Положительная область является внутренней для параболы. Покажем, прежде всего, что, если а — достаточно большое положительное число, a x достаточно мало , то все траектории системы (7) (за исключением положения равновесия О), пересекающие участок параболы (8), переходят с отрицательной стороны на положительную, т. е. снаружи внутрь (рис. 59). Для этого вычислим производную функции В силу системы (7) в точках параболы (8) мы имеем: … (здесь невыписанные члены содержат x по крайней мере в 3-й степени). Число положительно, а функция ограничена в окрестности начала координат; поэтому можно выбрать настолько большое число а, что | |>δ, δ >0. Опущенные члены выражения для имеют, по крайней мере, третий порядок малости по x, и потому существует такое положительное ε, что при мы имеем; причем равенство имеет место лишь при x = 0, т. е. в точке О. Из доказанного следует, что все траектории системы (1), за исключением положения равновесия О, пересекают рассмотренный участок параболы (8) в направлении роста функции т. е. снаружи внутрь. Точно так же доказывается, что участок параболы у + а 2 = 0 (9) пересекается всеми траекториями системы (7), за исключением положения равновесия О, снаружи внутрь (внутренняя часть параболы (9) содержит отрицательную полуось ординат, рис. 60). Пусть а и b — точки, в которых прямая пересекает соответственно параболы (8) и (9). Рассмотрим треугольник [О, a, b], составленный из двух кусков парабол (8) и (9) и прямолинейного отрезка [а, b]. Если достаточно мало, то все траектории системы (1), проходящие в треугольнике [O, а, b], идут справа налево (рис. 61), в частности пересекают отрезок [а, b] справа налево, входя в треугольник [О, а, b]. Это следует из того, что выражение (см. (7)) при 0< , | |< а 2 отрицательно, так как 0, а есть «квадратичная форма» по и с ограниченными коэффициентами. Пусть φ(t, p) — траектория системы (7), начинающаяся при t = 0 в некоторой точке p интервала (а, b). Эта траектория входит в треугольник [О, а, b] через сторону [а, b]. Она может при возрастании t либо выйти из треугольника через дуги парабол Оa, Оb, либо вовсе не выйти из треугольника. В последнем случае траектория при асимптотически приближается к точке О. Геометрически видно, что если траектория φ(t, p) выходит из треугольника через дугу Оa, то и траектория φ(t, p'), где p' есть точка интервала (а, p), также выходит из треугольника через дугу Оa (рис. 61). Далее, если траектория φ(t, p) выходит из треугольника через дугу Оa, то, в силу теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных значений (теорема 14 и предложение Д) § 23), траектория φ(t, p"), где p"— точка, достаточно близкая к p', также выходит через дугу Оa. Таким образом, совокупность всех таких точек p интервала (а, b), для которых траектория φ(t, p) выходит из треугольника через дугу Оa, составляет некоторый интервал (а, а'), (Этот интервал непуст, т. е. a'≠a, ибо траектории, начинающиеся в точках p, достаточно близких к а, очевидно, пересекают дугу Оa.) Точно так же совокупность всех таких точек p, для которых траектория φ(t, p) выходит из треугольника через сторону Оb, составляет интервал (b, b'). Интервалы (а, а') и (b, b') не могут пересекаться, так что точка a' лежит выше точки b' или, в крайнем случае, совпадает с ней. (В действительности имеет место совпадение, но это требует еще сравнительно сложного доказательства.) Таким образом, отрезок [а', b'] содержит хотя бы одну точку, и потому существует траектория начинающаяся на отрезке [a', b'] и асимптотически приближающаяся к точке O. Касательная к траектории , в точке имеет угловой коэффициент Так как точка траектории принадлежит треугольнику [О, a, b], то | у |< а 2, 0< < (10) а из этого следует, что число ( ) остается конечным и при стремится к нулю. С другой стороны, угловой коэффициент секущей, проведенной из точки О в точку траектории , равен , а так как имеют место неравенства (10), то при имеем . Таким образом, кривая , упирающаяся в точку O, имеет в точке O непрерывную производную и касается оси абсцисс. Траектория , представляет собой ус Ус подходящий к точке О вдоль отрицательной части оси абсцисс, также касается в точке О оси абсцисс; оба эти уса составляют вместе кривую U с уравнением (11) Где есть непрерывная и непрерывно дифференцируемая функция переменного , причем . Итак, существование устойчивых усов и , составляющих вместе с точкой О кривую U, определяемую уравнением (11), доказано. Докажем теперь единственность этих усов. Для этого преобразуем в окрестности начала координат плоскости систему координат так, чтобы кривая (11) стала, осью абсцисс. Мы добьемся этой цели, введя вместо неизвестной функции новую неизвестную функцию по формуле (12) Произведя в системе (7) замену (12), получаем новую систему уравнений (13) где неизвестными функциями являются и . Так как функция имеет непрерывную производную, то функция имеет непрерывные производные по обеим переменным и , а функция непрерывна по и имеет непрерывную производную по . Однако существование непрерывной производной функции по не установлено. Таким образом, не установлено, что для системы (13) выполнены обычные наши предположения о непрерывной дифференцируемости правых частей по всем переменным, являющимся неизвестными функциями. Очевидно, однако, что каждому решению системы (13) соответствует в силу (12) решение системы (7) и обратно. Таким образом, по поведению траекторий системы (13) можно судить о поведении траекторий системы (7). Устойчивые усы и системы (7) перешли в отрезки оси абсцисс плоскости , и потому система (13) имеет решения, в которых функция некоторым образом монотонно меняется, асимптотически приближаясь к нулю, а функция тождественно равна нулю. Из этого следует, что Ниже будет показано (см. В)), что функция может быть записана в виде: (14) где — непрерывная функция переменных и . Из соотношения (14) в силу непрерывности функции мы получаем: жүктеу/скачать 1,95 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|