Лекция Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений
жүктеу/скачать 1,95 Mb.
|
Лекции Word
| y= ;
мы будем называть ее собственной прямой. Если корни и отрицательны, то мы имеем устойчивый узел (см. А)). В этом случае обе собственные прямые проходят во второй и четвертой четветях; трактории вблизи начала координат касаются той из них, которая расположена ближе к оси абсцисс (рис.34). Если корни и положительны, то мы имеем неустойчивый узел (см.А)). Обе собственные прямые проходят в первой и третьей четвертях; вблизи начала координат траектории касаются той из них, которая расположена ближе к оси абсцисс (35). Если корни и имеют разные знаки, то мы имеем седло; одна собственная прямая проходит во второй и четвертой четвертях, а другая – в первой и третьей. В направлении первой из этих прямых траектории приближаются к началу координат, а в направлении второй – отходят от него (рис.36). 3.Рассмотрим, наконец, случай, когда хотя бы одно из собственных значений матрицы А обращается в нуль. Случай I. В нуль обращается лишь одно собственное значение: , =0. В этом случае решение можно записать в виде (4), где и даются формулами (5). Так как =0, то =const, и движение происходит по прямым = const в направлении к прямой =0 или от нее в зависимости от знака числа . Все точки прямой =0 являются положениями равновесия (рис.37). Если же имеется единственное собственное значение =0, то могут представиться два случая, рассмотренные в примеры I. Случай I (см. (11), ). Общее решение записывается в виде (см. (13)): . Этот случай имеет место, если все коэффициенты системы (1) обращаются в нуль; каждая точка плоскости Р является положением равновесия. Случай II (см.(12), ). Общее решение записывается в виде (см.(14)): = + t, = . Движение происходит равномерно по каждой из прямых =const. Все точки прямой являются положениями равновесия (рис.38). Лекция 8. Пусть
нормальная автономная система, и (2) — ее векторная запись. Относительно функций мы будем предполагать, что они определены и имеют непрерывные частные производные первого порядка па некотором открытом множестве пространства переменных . В дальнейшем при установлении критерия устойчивости требования дифференцируемости будут усилены: именно, будет предполагаться, что функции (3) имеют на множестве непрерывные частные производные второго порядка. Не давая формального определения устойчивости по Ляпунову, постараюсь, прежде всего, выразить идею устойчивости. Положение равновесия уравнения (2) следует считать устойчивым, если всякое решение уравнении (2), исходящее при t = 0 из точки, достаточно близкой к , остается и течение всего дальнейшего своего изменения (т. е. при t>0) вблизи точки . Физический смысл устойчивости ясен. Физический объект (например, какая-либо машина), движения которого управляются уравнением (2), может находиться в положении равновесия, а лишь тогда, когда это положение равновесия устойчиво, так как в противном случае ничтожное отклонение от положения равновесия, вызванное случайным толчком, может повлечь уход объекта далеко от положения равновесия. Ниже через будет обозначаться решение уравнения (2) с начальными значениями t = 0, , так что есть векторная функция скалярного переменного t и векторного переменного удовлетворяющая условию Определение. Положение равновесия а уравнения (2) называется устойчивым по Ляпунову, если 1) существует настолько малое положительное число , что при | решение уравнения (2) определено для всех положительных t; 2) для всякого положительного числа г найдется такое положительное число , что при | имеем при всех t>0. Устойчивое по Ляпунову положение равновесия, а уравнения (2) называется асимптотически устойчивым, если 3) существует настолько малое положительное число , что при | имеем: Дадим, прежде всего достаточные условия устойчивости положение равновесия для линейной однородной системы с постоянными коэффициентами: А) Пусть (5) — линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами, взятое в векторной записи. Решение его с начальными значениями 0, обозначим через . Если все собственные значения матрицы А имеют отрицательные действительные части, то существуют такие положительные числа а и r, что выполнено неравенство (6) <*) Из неравенства (6) непосредственно следует, что положение равновесия x = 0 уравнения (5) является устойчивым по Ляпунову и асимптотически устойчивым. Докажем неравенство (6). Положим: Тогда, пользуясь символом дифференцирования (см. § 7), уравнение (5) в скалярной форме можно записать в виде системы Пусть — минор элемента матрицы , взятый с надлежащим знаком, так что выполнено тождество где — детерминант матрицы . Умножая соотношение (7) на многочлен и суммируя полученное соотношение по i, получаем: Таким образом, если — некоторое решение уравнения (5), то каждая функция удовлетворяет дифференциальному уравнению . Так как все корни многочлена по предположению имеют отрицательные действительные части, то (см. § 9, А)) для функции выполнено неравенство где R и — положительные числа, не зависящие от номера i. Из этого неравенства следует неравенство Последнее неравенство уже было доказано ранее (см. § 11, Б)) в более общих предположениях; здесь это доказательство проведено заново. Пусть — единичный координатный вектор номера i, так что где единица стоит на i-м месте. Пусть, далее, — решение уравнения (5) с начальным значением так что Тогда решение уравнения (5) с начальным значением очевидно, запишется в виде: Так как для каждого решения выполнено неравенство то для решения , очевидно, выполнено неравенство (6). Устойчивость по Ляпунову положения равновесия х = 0 непосредственно вытекает из неравенства (6). Действительно, если — заданное положительное число, то достаточно принять за число . Асимптотическая устойчивость также вытекает из неравенства (6). Лекция 9. Пусть (12) переменным вектор n-мерного пространства. жүктеу/скачать 1,95 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|