Лекция Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений
жүктеу/скачать 1,95 Mb.
|
Лекции Word
- Бұл бет үшін навигация:
- – произвольный вектор, не коллинеарный вектору . Тогда мы имеем: А = , А = + . Из этого видно, что преобразование А имеет в базисе , матрицу
- + + . Разлагая это решение по базису , в виде + , получаем уравнение траекторий в плоскости Р относительно базиса , : = ( ) , = (14)
- +a +bx=0. (16) Заменяя это уравнение нормальной системой по способу , изложенному в 4, получаем: =y, = - bx – ay (17)
| А = , А = (11)
СлучайII. Существует в плоскости Р такой базис , , что А = , А = + (12) Существование базиса одного из видов (11), (12) непосредственно вытекает из теоремы 30, но здесь мы докажем этот факт непосредственно. Пусть - собственный вектор преобразования А и – произвольный вектор, не коллинеарный вектору . Тогда мы имеем: А = , А = + . Из этого видно, что преобразование А имеет в базисе , матрицу , так что его собственными значениями являются и , потому . Если =0, то для базиса , выполнены соотношения (11). Если же 0, то, заменив вектор коллинеарным ему вектором , мы получим базис, удовлетворяющий условию (12). Непосредственно проверяется, что в случае 1 общее решение уравнения (2) записывается в виде: + = . (13) Написанное решение имеет начальное значение (0, ). При каждое решение описывает полупрямую, входящую из начала координат. При движение происходит в направлении к началу координат (рис. 31, а), при - от начала координат (рис. 31, б); относительно случая см. пример 3. Непосредственно проверяет также, что в случае II произвольное решение уравнения (2)имеет вид: + + . Разлагая это решение по базису , в виде + , получаем уравнение траекторий в плоскости Р относительно базиса , : = ( ) , = (14) Афинное отображение фазовой плоскости Р, переводящее векторы и в единичные ортогональные векторы, направленные по осям координат плоскости , переводит траектории плоскости Р в траектории плоскости , в которой уравнения (14) дают траектории уже в прямоугольных координатах. Разберем случай . Пусть сначала . Рассмотрим траектории, заполняющие плоскость , в этом случае. Прежде всего из уравнений (14) видно, что, меняя одновременно знаки у и , мы получим симметрию плоскости относительно начала координат, при которой траектории переходят в траектории. Таким образом, достаточно рассмотреть заполнение траекториями верхней полуплоскости. При =0, получаем две траектории: одну при 0, другую – при . Первая совпадает с положительной полуосью абсцисс, вторая – с отрицательной полуосью абсцисс; движение по обеим направлено к началу координат. Рассмотрим, далее, траекторию =0, Мы имеем: = , = (15) При t=0 получаем точку (0, ) на оси ординат. При t, возрастающем от нуля, точка сначала движется направо, затем налево, все время опускаясь вниз к началу координат, к которому она подходит по траектории, касающейся положительного направления оси Абсцисс. При t, убывающем от нуля до - , точка движется налево, одновременно поднимаясь вверх, однако налево быстрее, чем вверх, так что общая тенденция ее движения – в отрицательном направлении вдоль оси абсцисс. Если в уравнениях (15) придавать константе все положительные значения, то описанные таким образом траектории заполняют всю верхнюю полуплоскость (рис. 32, а). Мы имеем здесь устойчивый вырожденный узел. Если , то траектории получаются из описанных путем зеркального отражения плоскости относительно оси ординат (рис. 32,б), а движение по ним идет в противоположном направлении, т.е. от начала координат. Это – неустойчивый вырожденный узел. На рис. 33, а, б показаны фазовые траектории в плоскости Р. 2.Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами +a +bx=0. (16) Заменяя это уравнение нормальной системой по способу , изложенному в 4, получаем: =y, = - bx – ay (17) Фазовую плоскость системы (17) считают фазовой плоскостью уравнения (16). Непосредственно проверяется, что характеристический многочлен системы (17) совпадает с характеристическим многочленом уравнения (16), т.е. равен +ap+b (18) Таким образом, если корни многочлена (18) комплексны, то фазовая плоскость уравнения (16) представляет собой фокус или центр. Рассмотрим фазовую плоскость в случае действительных различных отличных от нуля корней многочлена (18). Пусть - корень многочлена (18) и h=( ) – соответствующий ему собственный вектор. Мы имеем тогда (учитывая вид системы (17)) = Таким образом, собственное направление, соответствующее собственному значению , определяется прямой линией, имеющей уравнение жүктеу/скачать 1,95 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|