Лекция Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений
жүктеу/скачать 1,95 Mb.
|
Лекции Word
| Квадратичной формой от вектора х называется его функция W (х), определяемая формулой
где = — действительные числа. Квадратичная форма W(х) называется положительно определенной, если при х 0 имеем: > 0. Оказывается, что для любой положительно определенной квадратичной формы всегда можно подобрать два таких положительных числа чго для произвольного вектора x имеют место неравенства (13) Из этого следует, что для произвольного х (см. (12)) имеет место неравенство (14) Докажем существование чисел . Для этого рассмотрим значения функции W(𝜉), когда вектор 𝜉 принадлежит единичной сфере, т. е. удовлетворяет условию |𝜉|=1. (15) Так как сфера (15) представляет собой замкнутое ограниченнее множество, а функция W(𝜉) непрерывна, то на сфере (15) она достигает своего минимума и своего максимума . Так как все векторы сферы (15) отличны от пуля, то числа положительны. Пусть x — произвольный вектор; тогда мы имеем х=λ𝜉, где вектор 𝜉 принадлежит сфере (15), и потому для вектора 𝜉 выполнены неравенства Умножая это неравенство на , получаем неравенства (13). Перейдем теперь к построению функции Ляпунова. Д) Пусть (16) линейная однородная система уравнений с постоянными коэффициентами, причем все собственные значения матрицы имеют отрицательные действительные части. Существует тогда положительно определенная квадратичная форма W(x), производная которой в силу системы (16) (см. Б)) удовлетворяет неравенству (17) где х — произвольный вектор, а — положительное число, не зависящее от вектора х. Построим форму W(х). Будем считать, что система (16) есть скалярная запись векторного уравнения (5). Решение уравнения (5) с начальными значениями 0, будем, как н в предложении А), обозначать через ; тогда мы имеем: (18) (см. (8)). Положим теперь (19) Мы имеем в силу (18) Так как каждая функция удовлетворяет неравенству (6), то каждый несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства (20), сходится, и потому W(x) есть квадратичная форма относительно вектора . Эта квадратичная форма является положительно определенной, так как при 0 подынтегральное выражение в формуле (19) положительно, и, следовательно, W( . Вычислим теперь производную ( ) функции W ( ) в силу системы (16). Для этого, согласно предложению Б), мы проведем через точку решение и затем вычислим производную при t = 0 от функции Заметим предварительно, что в силу В) так что Таким образом, мы имеем: Итак, мы получили равенство по в силу второго из неравенств (13) имеем: и потому получаем: Таким образом, неравенство (17) доказано. Теорема Ляпунова Перейдем, наконец, к формулировке и доказательству теоремы Ляпунова. Пусть а = (а1,.., ап) положение равновесия автономной системы (1)- Положим: (21) II примем за новые неизвестные функции величины (22) Производя подстановку (21) в системе (1) и разлагая прапые части в ряд Тейлора по переменным (22), получаем: (23) где — член второго порядка малости относительно неизвестных (22). Так как а есть положение равновесия системы (1), то далее, полагая (24) жүктеу/скачать 1,95 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|