Лекция Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений
Лекция 5. Фазовая плоскость линейной однородной системы с постоянными коэффициентами
жүктеу/скачать 1,95 Mb.
|
Лекции Word
| Лекция 5. Фазовая плоскость линейной однородной системы с постоянными коэффициентами
Здесь будут построены фазовые траектории на фазовой плоскости системы (1) или в векторной форме (2) с постоянными действительными коэффициентами . При этом нам придется разобрать несколько различных случаев, так как фазовая картина траекторий системы существенно зависит от значений коэффициентов. Следует заметить, что начало координат (точка (0, 0)) всегда является положением равновесия системы (1). Это положение равновесия тогда и только тогда является единственным, когда детерминант матрицы ( ) отличен от нуля, или, что то же, оба собственных значения этой матрицы отличны от нуля. Допустим, что собственные значения матрицы А действительны, различны и отличны от нуля. Тогда, как это следует из результатов § 14 (теорема 10) произвольное действительное решение уравнения (2) можно записать в виде: (3) Здесь и — действительные линейно независимые собственные векторы матрицы А; и — его действительные собственные значения, а и — действительные константы. Решение (3) разложим по базису ( , ) положив (4) тогда мы будем иметь: = , = (5) Координаты , на фазовой плоскости Р системы (1), вообще говоря, не являются прямоугольными, поэтому отобразим аффинно фазовую плоскость P на вспомогательную плоскость P* таким образом, чтобы при этом векторы и перешли во взаимно ортогональные единичные векторы плоскости P*, направленные соответственно по оси абсцисс и оси ординат (рис. 22). Точка плоскости Р перейдет при этом отображении в точку с декартовыми прямоугольными координатами , плоскости P*. Таким образом, траектория, заданная параметрическими уравнениями (5) в плоскости Р перейдет в траекторию (которую мы также назовем фазовой), заданную теми же уравнениями в прямоугольных координатах плоскости P*. Мы начертим сперва траектории, заданные уравнениями (5) в плоскости P*, а затем отобразим их обратно в плоскость Р. Наряду с фазовой траекторией (5) в плоскости P* имеется траектория, задаваемая уравнениями = , = - (6) а также траектория, задаваемая уравнениями = - , = (7) Траектория (6) получается из траектории (5) зеркальным отражением относительно оси абсцисс, а траектория (7) — относительно оси ординат. Таким образом, указанные два зеркальных отображения оставляют Рис. 22. ■ картину траекторий на плоскости P* инвариантной. Из этого видно, что если вычертить траектории в первом квадранте, то уже легко представить себе всю фазовую картину в плоскости P*. Заметим, что при с1 = с2 = 0 мы получаем движение точки, описывающее положение равновесия (0, 0). При с2 = 0, с1>0 получаем движение, описывающее положительную полуось абсцисс, при с1 = 0, с2>0 получаем движение, описывающее положительную полуось ординат. Если <0, то движение, описывающее положительную полуось абсцисс, протекает в направлении к началу координат, если же >0, то движение это имеет противоположное направление— от начала координат. В первом случае точка движется, неограниченно приближаясь к началу координат, во втором — неограниченно удаляясь в бесконечность. То же справедливо и относительно движения, описывающего положительную полуось ординат. Если и положительны, то движение точки протекает в первой четверти, не выходя на ее границу. Дальнейшее, более детальное описание фазовой плоскости проведем отдельно для нескольких случаев — в зависимости от знаков чисел и А) Узел. Допустим, что оба числа и отличны от нуля и имеют один знак, причем | |< | | (8) Разберем сперва случай, когда 𝛌1<0, 𝛌2<0. При этих предположениях движение по -положительной полуоси абсцисс направлено к началу координат, точно так же, как движение по положительной полуоси ординат. Далее, движение по произвольной траектории внутри первого квадранта состоит в асимптотическом приближении точки к началу координат, причем траектория при этом касается оси абсцисс в начале координат. При t, стремящемся к —∞, точка движется так, что абсцисса и ордината ее бесконечно возрастают, но возрастание ординаты сильнее, чем возрастание абсциссы, т. с. движение идет в направлении оси ординат. Эта фазовая картина называется устойчивым узлом (рис. 23, а). Если наряду с неравенством (8) выполнены неравенства 𝛌1>0, 𝛌2>0. то траектории остаются прежними, но движение по ним направлено и противоположном направлении. Мы имеем неустойчивый узел (рис. 23, б). Б) Седло. Допустим, что числа 𝛌1 и 𝛌2 имеют противоположные знаки. Для определенности предположим, что 𝛌1<0<𝛌2. В этом случае движение но положительной полуоси абсцисс идет к началу координат, а движение по положительной полуоси ординат — от начала координат. Траектории, лежащие внутри первого квадранта, напоминают по своему виду гиперболы, а движения по ним происходят в направлении к началу вдоль оса абсцисс, и в направлении от начала вдоль оси ординат. Эта фазовая картина называется седлом (рис. 24). Рисунки 23, а, б и 24 дают картину траекторий на вспомогательной фазовой плоскости Р*. Расположение траекторий на фазовой плоскости Р получается из этого с помощью аффинного преобразования и зависят от положения собственных векторов (см, например, рис. 25 и 26). Рассмотрим теперь случай, когда собственные значения матрицы А комплексны. В этом случае они комплексно сопряжены и могут быть обозначены через Рис. 24. и причем . Собственные векторы матрицы А могут быть выбраны сопряженными, так что их можно обозначить через и . Положим: где и — действительные векторы. Векторы и линейно независимы, так как и случае линейной зависимости между ними мы имели бы линейную зависимость между и . Итак, векторы и , можно принять за базис фазовой плоскости Р уравнения (2). Произвольное действительное решение уравнения (2) можно зависать в виде: (9) где с — комплексная константа. Пусть тогда мы имеем: . Отобразим аффинно фазовую плоскость Р на вспомогательную плоскость Р* комплексного переменного так, чтобы вектор перешел в единицу, а вектор — в тогда вектору будет соответствовать комплексное число . В силу этого отображения фазовая траектория (9) перейдет в фазовую траекторию из плоскости Р*, описываемую уравнением (10) Лекция 6. Фокус и центр. уравнение движении точки в плоскости Р*. При каждая траектория оказывается логарифмической спиралью. Соответствующая картина на плоскости Р называется фокусом. Если ( , то точка при возрастании t асимптотически приближается к началу координат, описывая логарифмическую спираль. Это — устойчивый фокус (рис. 27, а). Если > 0, то точка уходит от начала координат в бесконечность, и мы имеем неустойчивый фокус (рис. 27, б). Если число µ равно нулю, то каждая фазовая траектория, кроме положения равновесия (0, 0), замкнута, и мы имеем так называемый центр (рис. 28). Рисунки 27 и 28 дают картину во вспомогательной фазовой плоскости; в плоскости Р картина аффинно искажается (см., например, рис. 29 и 30). Выше мы рассматривали так называемые невырожденные случаи: корни различны и отличны от нуля. Малое изменение элементов матрицы ( ) не меняет в этих предположениях общего характера поведения фазовых траекторий. Исключение составляет случай центра: при малом изменении элементов матрицы ( ) равенстпо µ = 0 может нарушиться, и центр перейдет в устойчивый или неустойчивый фокус. Включение этого вырожденного случая (центра) в основной текст параграфа объясняется его важностью. Остальные вырожденные случаи будут рассмотрены в примерах 1 и 3. Лекция 7.(продолжение) Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами Заменяя это уравнение нормальной системой, получаем: (17) Фазовую плоскость системы (17) считают фазовой плоскостью уравнения (16). Непосредственно проверяется, что характеристический многочлен системы (17) совпадает с характеристическим многочленом уравнения (16), т. Е. Равен (18) Таким образом, если корни многочлена (18) комплексны, то фазовая плоскость уравнения (16) представляет собой фокус или центр. Рассмотрим фазовую плоскость в случае действительных различных в отличных от нуля корней многочлена (18). Пусть —корень многочлена (18) и — соответствующий ему собственный вектор. Мы имеем тогда (учитывая вид системы (17)) Таким образом, собственное направление, соответствующее собственному значению , определяется прямой линией, имеющей уравнение Мы будем называть ее собственной прямой. Если корни , и , отрицательны, то мы имеем устойчивый узел (см. А)). В этом случае обе собственные прямые проходят во второй и четвертой четвертях; траектории вблизи начала координат касаются той из них, которая расположена ближе к оси абсцисс (рис. 34). Если корни , и , положительны, то мы имеем неустойчивый узел (см. А)). Обе собственные прямые проходят в первой и третьей четвертях; вблизи начала координат траектории касаются той из них, которая расположена ближе к оси абсцисс (рис. 35). Если корни , и , имеют разные знаки, то мы имеем седло; одна собственная прямая проходит во второй и четвертой четвертях, а другая — в первой и третьей. В направлении первой из этих прямых траектории приближаются к началу координат, а в направлении второй — отходят от него (рис. 36). 3. Рассмотрим, наконец, случай, когда хотя бы одно из собственных значений матрицы А обращается в нуль. Случай I. В нуль обращается лишь одно собственное значение , В этом случае решение можно записать в виде (4). где и даются формулами (5). Так как , то , и движение происходит но прямым в направлении к прямой или от нее в зависимости от знака числа . Все точки прямой являются положениями равновесия (рис.37). Если же имеется единственное собственное значение то могут представиться два случая, рассмотренные в примере 1. ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ Случай I (см. (11), ). Обшее решение записывается в виде (см. (13)): Этот случай имеет место, если все коэффициенты системы (1) обращаются и нуль; каждая точка плоскости Р является положением равновесия. Рис. 38. Случай II (см. (12), ). Общее решение записывается в виде (см. (14)): Движение происходит равномерно по каждой из прямых . Все точки прямой являются положениями равновесия (рис. 38). Лекция 7. 1. (Вырожденный узел). Если матрица А системы (1) имеет лишь одно собственное значение , то возможны два существенно различных случая, при описании которых мы будем обозначать через А преобразование, соответствующее матрице А. Случай I. Существует в плоскости З базис , , состоящий из двух собственных векторов преобразования А: жүктеу/скачать 1,95 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|