Теорема 8. В компактном пространстве счётная последовательность вложенных друг в друга замкнутых {непустых} множествe имеет непустое, пересечение.
Пусть эти множества будут:
Если начиная с некоторого к, мы имеем то не пусто. Если среди { } есть бесконечное число различных, то выбираем подпоследовательность множеств
так что каждое следующее составляет истинную часть предыдущего и выбираем точки . В силу компактности последовательность { } имеет предельную точку р. Так как по построению и так как замкнутое, то для любого к, т. е.
Теорема доказана.
Следствие. Если компактное пространство R покрыто счётной системой открытых множеств { } (n —1,2,...), то на этой система можно выбрать конечную систему, покрывающую R.
Допустим, что это предложение неверно. Строим последовательность замкнутых множеств:
В силу допущения ни одно из них не пусто, причём, очевидно, По теореме 7, не пусто их пересечение . Но следовательно,
не пусто, а это противоречит условию
Для компактного метрического пространства имеет место
Достарыңызбен бөлісу: |
