Теорема 10. В компактном пространстве К расстояние между двумя замкнутыми множествами F1 и F2 без общих точек положительно.
Допустим, что F1F2 = 0 и . Из последнего условии следует существование последовательностей и таких, что . В силу компактности пространства К из можно выбрать сходящуюся подпоследовательность ; . Очевидно, что также , и в силу замкнутости F1 и F2, точке р принадлежит и к F1 и к F2, что противоречит условию теоремы. Теорема доказана.
Примечание. Условие, что F1 и F2 лежат в компактом пространстве – существенно. Рассмотрим, в самом деле, на два замкнутых множества: и ; мы имеем F1F2 = 0 и
Достарыңызбен бөлісу: |
