Теорема 7.. В метрическом пространстве со счётной базой всякое открытое множество может быть представлено как сумма счётного числа замкнутых множеств.
Пусть открытое множество. Каждой точке можно поставить в соответствие число , такое, что S(p,r(p)) G; если же взять , то очевидно S(p, r') G. Из покрытия множества G множествами S(p, r') можно, по теореме 6, выбрать счётное покрытие , так что но по построению мы имеем:
Следовательно, G представляется как сумма замкнутых множеств:
Пространство R называется компактным, если любая бесконечная последовательность его точек содержит сходящуюся подпоследовательность. Примером компактного пространства может служить любое замкнутое ограниченное множество евклидова пространства Еп (принцип Больцано-Вейерштрасса).
Достарыңызбен бөлісу: |
