Лекция Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений
жүктеу/скачать 1,95 Mb.
|
Лекции Word
| Теорема 9. Компактное метрическое пространство имеет счётную базу.
Докажем сначала, что компактное метрическое пространство К для любого ε>0 имеет ε-сеть, т. е. конечное множество точёк обладающих тем свойством, что для любой точки найдется точка , такая, что . В самом деле, если бы для некоторого ε > 0 не существовало ε-сети, то, выбрав одну точку можно было бы найти так, чтобы было ; вообще дли любого п, найдя точки , такие, что (i,j=1,2,…n) , мы могли бы найти точку так, что (i=1,2,…n) Построенная таким образом счётная последовательность { } не имела бы предельной точки. В самом деле, допустив существование такой точки р, мы имели бы для , т. е. d в противоречии со свойством последовательности, точек { }.Но несуществование предельной точки для {рп} противоречит компактности пространства К. Существование ε-сети в К для любою ε> 0, таким образом, доказано. Построив ε-сети для ε=1,1/2,1/3,…,1/n,… и взяв сумму соответствующих конечных множеств, мы получаем счётное множество точек которое, как легко видеть, всюду плотно в K. Теперь мы можем в качестве счётной базы для K взять совокупность сфер , где { }- множество всех положительных рациональных чисел, как в теореме 4. Расстоянием между двумя множествами А и B в метрическом пространстве R называется жүктеу/скачать 1,95 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|