Теорема 9
Объем произвольного прямого цилиндра равен произведению
площади основания цилиндра на его высоту: V
=
Sh.
Доказательство.
I. Рассмотрим различные прямые цилиндры (рис. 108) с одной
и той же фиксированной высотой
H.
1) Объемы
V
H
B
таких цилиндров можно представить как функцию
их оснований
B. Докажем, что
V
H
B
=
f(
В)
=
kS, где
S — площадь основа
ния
B;
2) установим, что функция
V
H
B
=
f(
В) обладает свойствами 1—3 пло
щади фигуры. В самом деле: а) как и площадь основания,
V
H
B
>
0; б) если
основания цилиндров равны, то при фиксированной их высоте
Н сами
цилиндры будут равными. По свойству 2 объемы этих цилиндров рав
ны. Это означает, что объем таких цилиндров «ведет себя» как площадь
их оснований; в) если теперь основание
B разбить на части
B
1
и
B
2
, то
по свойству 3
V
H
B
=
V
1
+
V
2
, где
V
1
и
V
2
— объемы частей, на которые раз
бит цилиндр (см. рис. 108). Опять видно, что объем
V
H
B
«ведет себя» как
площадь основания
S;
3) следовательно,
S и
f(
В) можно рассматривать как два значения
площади одного и того же основания, полученные при различных еди
ницах измерения. Поэтому
V
H
B
=
f(
В)
=
kS.
—
88
—
H
V
V
H
B
B
B
V
I, 1—3
=
=
f B
kS
( )
2
1
В
V
H
В
1
2
Достарыңызбен бөлісу: