Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
§ 1 . К р и вол и н ей н ы е и н тегр ал ы по длине В ы ч и с л е н и е и н т е г р а л о в В задачах 3770— 3775 вычислить криволинейные интегралы. 3770. \ где L — отрезок прямой у = ~ х — 2, заключенный J х у Z L между точками Л (0, — 2) и /3(4, 0). . j 3771. ^ху ds, где L — контур прямоугольника с вершинами /1(0, 0 ), В (4, 0), С (4, 2) и D ( 0, 2). 3772. J yd s , где L — дуга параболы у- = 2рх, отсеченная параболой L x L = 2 ру. ] 3773. ^ (х~ -\-уа ~)п ds, где L — окружность L х = a cos t, у = а sin t. (* t 2 V* 3774. \ xyds, где L — четверть эллипса ^ 1 , лежащая в пер- l. вом квадранте. 0 3 7 7 5 . $]/"2, yds, где L — первая арка циклоиды L x = a (t — sin t), y = a ( I — cos t). 3776. Вывести формулу для вычисления интеграла \ F (х, y)d s п по- I лярных координатах, если линия L задана уравнением p = p('f) (ср,^<р^со). \ : 3777*. Вычислить ^ (х — у) ds, где L — окруж ность х--\-у~ = ах. L ____________ 3778. Вычислить ^ х }/ х * — у- ds, где L — линия, заданная уравпе- L пнем (л~ -j- / “)■ = а-(х 1 — у 1) (х ^ 0 ) (половина лемписка і ы ). Г Л А В А XIII 240 ГЛ. XIИ . КРИ ВО Л И Н ЕЙ Н Ы Е ИНТЕГРАЛЫ ^ 3779. Вычислить ^ arctg ~ ds, где L — часть спирали Архимеда р = 2 '.р, L заключенная внутри круга радиуса R с центром в начале координат (в полюсе). (* Z“ cl s 3780. Вычислить интеграл ^ y i > ^де ^ — первый виток винто вом линии x = acost, _)' = asin £ , z = at. 3781. Вычислить ^xyzds, где L — четверть окружности л*-- f - У -j- L z '= R*, х 2 -J-У 1 = , лежащая в первом октанте. 3782. Вычислить \ {2 z — Y х* -}-У ) ds, где I — первый виток копи- L ческой винтовой линии x = tco$t, y = tsint, z = t. \ 3783. Вычислить ^(лг- j- y c f s , где L — четверть окруж ности L х* -{- у '1 -[- z* = R*, у = x, лежащая в первом октанте. П р и м е н е н и я и н т е г р а л о в 3784. Найти массу участка линии у = \пх между точками с абсцис сами х\ и Хь если плотность линии в каждой точке равна квадрату абсциссы точки. X 3785. НаМти массу участка цепном линии ^ = a c l i — между точками с абсциссами jcj = 0 и х* = а, если плотность линии в каждой ее точке обратно пропорциональна ординате точки, причем плотность в точке ( 0 , а) равна о. 3786. НаМти массу четверти эллипса х = а cos t, y = bs\nt, распо ложенной в первом квадранте, если плотность в каждой точке равна ординате этой точки. 3787. Найти массу первого витка винтовом линии x = aco st, у = = a sin /, z = bt , плотность котором в каждой точке равна квадрату полярного радиуса этом точки. 3788. НаМти массу дуги линии x = cl cost, у = е* sin£, г = е* от точки, соответствующем t = 0 , до произвольной точки, если плотность дуги обратно пропорциональна квадрату полярного радиуса и в точке ( 1 , 0 , 1 ) равна единице. 3789. Найти координаты центра тяжести первого полувитка винто вой линии х = а cos t, _y = asintf, z = bt, считая плотность постоянном. 3790. Вычислить статическим момент первого витка конической вин товой линии х = i cos t, у = t sin t, z = t относительно плоскости Оху, § I. КРИ ВО Л И Н ЕЙ Н Ы Е ИНТЕГРАЛЫ ПО ДЛИНЕ 241 считая плотность пропорциональной квадрату расстояния от этой пло скости: р = /ez2, 3791. Вычислить моменты инерции относительно координатных осей первого витка винтовой линии x = aco$t, y = as\nt, z = t^ t. В задачах 3792 — 3797 вычислить площади частей цилиндрических поверхностей, заключенных между плоскостью Оху и указанными поверх ностями. 3792. х 2 у" = R\ z = R - ~ . 3793. у 1 = 2 рх, z = У ' 2 рх — 4х3. 3794. У ’= ~ (х — 1);‘, z = 2 — У х . 3796. х 2 + / = /?', 2Rz = xy. 3796. — z = kx и 2 = 0 ( z ^ s O ) («цилиндрическая под кова»). ___ g 3797. у — У 2 рх, z = y и х = -у р. 3798. Вычислить площадь поверхности, которую вырезает из круг лого цилиндра радиуса R такой же цилиндр, если оси этих цилиндров пересекаются под прямым углом (ср. с решением задачи 3642). 3799. Найти площадь части поверхности цплппдра х - у* = Rx, заключенной внутри сферы х 3 -{- у* -j- z 2 = R*. Согласно закону Бно— Савара элемент тока действует на магнитную ml sin a ds . , массу т с силой, равной по величине ------ р ------- , где I — ток, as — эле мент длины проводника, г — расстояние от элемента тока до магнитной массы, а — угол между направлением прямой, соединяющей магнитную массу и элемент тока, и направлением самого элемента тока. Эта сила направлена по нормали к плоскости, содержащей элемент тока и точку, в которую помещена магнитная масса; направление силы устанавли вается правилом «буравчика». Опираясь на этот закон, решить задачи 3800— 3805. 3800. Найти силу, с которой ток / в бесконечном прямолинейном проводнике действует на точечную магнитную массу т , находящуюся па расстоянии а от проводника. 3801. По контуру, имеющему форму квадрата со стороной а, течет ток 1 . С какой силой этот ток действует на точечную магнитную массу tn, находящуюся в центре квадрата? 3802. Показать, что ток I, текущий по дуге линии, уравнение кото рой в полярных координатах имеет вид р = р (ср), действует на точечную 242 ГЛ. X III. КРИ ВО Л И Н ЕЙ Н Ы Е ИНТЕГРАЛЫ магнитную массу, находящуюся в полюсе, с силой ' — f t - fi 3393. С какой силой ток /, текущий по замкнутому эллиптическому контуру, действует на точечную магнитную массу т , находящуюся в фокусе эллипса? 3804. С какой силой ток /, текущий по бесконечному параболиче скому контуру, действует на точечную магнитную массу т , помещен ную в фокусе параболы? Расстояние от вершины до фокуса равно р/ 2 . 3805. С какой силой ток 1 , текущий по круговому контуру радиуса R, действует на точечную магнитную массу ш, помещенную в точку Р, лежащую на перпендикуляре, восставленном в центре круга, на расстоя нии Һ от плоскости круга? При каком значении R эта сила будет наибольшей прп заданном /г? жүктеу/скачать 9,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|