Докажем, что пределом последовательности 1- 1/10n , n→ , является число 1.
Докажем, что пределом последовательности 1- 1/10n , n→ , является число 1.
Док-во.
Если 1 предел послед-ти, то для любого Ɛ˃0 найдется номер N=N(Ɛ) такой, что для всех n˃N верно |1-1/10n-1|˂Ɛ.
Должны показать, что для любого Ɛ найдется номер N:
Должны показать, что для любого Ɛ найдется номер N:
- если N есть, то |1-1/10n-1|˂Ɛ верно.
|-1/10n|˂Ɛ
1/10n ˂Ɛ
10n ˃1/Ɛ
lg 10n ˃1/Ɛ
n lg 10˃lg 1 - lg Ɛ
n˃-lg Ɛ˃0
если N=[-lg Ɛ]+1, то определение предела последовательности выполняется, а именно:
если N=[-lg Ɛ]+1, то определение предела последовательности выполняется, а именно:
для любого Ɛ˃0 существует номер
N =[-lg Ɛ]+1 такой, что для всех n˃N верно, что |xn-a|˂Ɛ˂|(1-1/10n )/xn - 1/a|˂Ɛ
А это и обозначает, что предел послед-ти 1-1/10n есть число 1.
§3 Предел функции
О.: Число "в" называется пределом функции y=f(x), при х→х0, если Ɛ˃0 найдется такое ρ=ρ(Ɛ), ρ больше˃0, что для всех х принадлежащих ρ(∆)-окрестности х0,
соответствующие значения функции принадлежат Ɛ-окрестности точки "в", т.е. если для всех х таких, что |х-хо|˂∆ соответствующие f(x) удовлетворяют неравенство |f(x)-в|˂Ɛ.
соответствующие значения функции принадлежат Ɛ-окрестности точки "в", т.е. если для всех х таких, что |х-хо|˂∆ соответствующие f(x) удовлетворяют неравенство |f(x)-в|˂Ɛ.
Обозначение:
для послед-ти:
для ф-и:
Замечание!
Замечание!
Число "в" является пределом ф-и f(x) при х→х0, если, чем ближе точки х к точке хо, тем ближе соответствующие значения ф-и к точке "в".
Лемма:
Лемма:
О.: Функция y=f(x) имеющая предел при х→х0 является ограниченной, в некоторой окрестности точки х0. Ǝ-существует, uх0 – окрестность точки х0. uх0 такая, что все хϵuх0 выполняется неравенство m≤ f(x) ≤М, где m, M некоторые конечные числа.
ОБРАТНАЯ НЕВЕРНА:
ОБРАТНАЯ НЕВЕРНА:
Например,
y=sin x является ограниченной для всех xϵD(sin x), но при этом х→ , - не существует.