Введение в математический анализ


Докажем, что пределом последовательности 1- 1/10n , n→ , является число 1



бет3/15
Дата12.12.2023
өлшемі0,5 Mb.
#196547
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15
Байланысты:
1Введение в математический анализ

Докажем, что пределом последовательности 1- 1/10n , n→ , является число 1.

  • Докажем, что пределом последовательности 1- 1/10n , n→ , является число 1.
  • Док-во.
  • Если 1 предел послед-ти, то для любого Ɛ˃0 найдется номер N=N(Ɛ) такой, что для всех n˃N верно |1-1/10n-1|˂Ɛ.

Должны показать, что для любого Ɛ найдется номер N:

  • Должны показать, что для любого Ɛ найдется номер N:
  • - если N есть, то |1-1/10n-1|˂Ɛ верно.
  • |-1/10n|˂Ɛ
  • 1/10n ˂Ɛ
  • 10n ˃1/Ɛ
  • lg 10n ˃1/Ɛ
  • n lg 10˃lg 1 - lg Ɛ
  • n˃-lg Ɛ˃0

если N=[-lg Ɛ]+1, то определение предела последовательности выполняется, а именно:

  • если N=[-lg Ɛ]+1, то определение предела последовательности выполняется, а именно:
  • для любого Ɛ˃0 существует номер
  • N =[-lg Ɛ]+1 такой, что для всех n˃N верно, что |xn-a|˂Ɛ˂|(1-1/10n )/xn - 1/a|˂Ɛ
  • А это и обозначает, что предел послед-ти 1-1/10n есть число 1.

§3 Предел функции

  • О.: Число "в" называется пределом функции y=f(x), при х→х0, если Ɛ˃0 найдется такое ρ=ρ(Ɛ), ρ больше˃0, что для всех х принадлежащих ρ(∆)-окрестности х0,

соответствующие значения функции принадлежат Ɛ-окрестности точки "в", т.е. если для всех х таких, что |х-хо|˂∆ соответствующие f(x) удовлетворяют неравенство |f(x)-в|˂Ɛ.

  • соответствующие значения функции принадлежат Ɛ-окрестности точки "в", т.е. если для всех х таких, что |х-хо|˂∆ соответствующие f(x) удовлетворяют неравенство |f(x)-в|˂Ɛ.
  • Обозначение:
  • для послед-ти:
  • для ф-и:

Замечание!

  • Замечание!
  • Число "в" является пределом ф-и f(x) при х→х0, если, чем ближе точки х к точке хо, тем ближе соответствующие значения ф-и к точке "в".

Лемма:

  • Лемма:
  • О.: Функция y=f(x) имеющая предел при х→х0 является ограниченной, в некоторой окрестности точки х0. Ǝ-существует, uх0 – окрестность точки х0. uх0 такая, что все хϵuх0 выполняется неравенство m≤ f(x) ≤М, где m, M некоторые конечные числа.

ОБРАТНАЯ НЕВЕРНА:

  • ОБРАТНАЯ НЕВЕРНА:
  • Например,
  • y=sin x является ограниченной для всех xϵD(sin x), но при этом х→ , - не существует.


Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет