Докажем, что пределом последовательности 1- 1/10n , n→ , является число 1

Должны показать, что для любого Ɛ найдется номер N:

• Должны показать, что для любого Ɛ найдется номер N:
• - если N есть, то |1-1/10n-1|˂Ɛ верно.
• |-1/10n|˂Ɛ
• 1/10n ˂Ɛ
• 10n ˃1/Ɛ
• lg 10n ˃1/Ɛ
• n lg 10˃lg 1 - lg Ɛ
• n˃-lg Ɛ˃0

если N=[-lg Ɛ]+1, то определение предела последовательности выполняется, а именно:

• если N=[-lg Ɛ]+1, то определение предела последовательности выполняется, а именно:
• для любого Ɛ˃0 существует номер
• N =[-lg Ɛ]+1 такой, что для всех n˃N верно, что |xn-a|˂Ɛ˂|(1-1/10n )/xn - 1/a|˂Ɛ
• А это и обозначает, что предел послед-ти 1-1/10n есть число 1.

§3 Предел функции

• О.: Число "в" называется пределом функции y=f(x), при х→х0, если Ɛ˃0 найдется такое ρ=ρ(Ɛ), ρ больше˃0, что для всех х принадлежащих ρ(∆)-окрестности х0,

соответствующие значения функции принадлежат Ɛ-окрестности точки "в", т.е. если для всех х таких, что |х-хо|˂∆ соответствующие f(x) удовлетворяют неравенство |f(x)-в|˂Ɛ.

• соответствующие значения функции принадлежат Ɛ-окрестности точки "в", т.е. если для всех х таких, что |х-хо|˂∆ соответствующие f(x) удовлетворяют неравенство |f(x)-в|˂Ɛ.
• Обозначение:
• для послед-ти:
• для ф-и:

Замечание!

• Замечание!
• Число "в" является пределом ф-и f(x) при х→х0, если, чем ближе точки х к точке хо, тем ближе соответствующие значения ф-и к точке "в".

Лемма:

• Лемма:
• О.: Функция y=f(x) имеющая предел при х→х0 является ограниченной, в некоторой окрестности точки х0. Ǝ-существует, uх0 – окрестность точки х0. uх0 такая, что все хϵuх0 выполняется неравенство m≤ f(x) ≤М, где m, M некоторые конечные числа.

ОБРАТНАЯ НЕВЕРНА:

• ОБРАТНАЯ НЕВЕРНА:
• Например,
• y=sin x является ограниченной для всех xϵD(sin x), но при этом х→ , - не существует.