Введение в математический анализ


) Точки перегиба графика функции. Промежутки выпуклости, вогнутости графика функции



бет15/15
Дата12.12.2023
өлшемі0,5 Mb.
#196547
1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   15
Байланысты:
1Введение в математический анализ

7) Точки перегиба графика функции. Промежутки выпуклости, вогнутости графика функции.

  • 7) Точки перегиба графика функции. Промежутки выпуклости, вогнутости графика функции.
  • О.: Ф-я называется вогнутой на некотором промежутке, если её график расположен выше любой касательной.
  • О.: Ф-я называется выпуклой на некотором промежутке, если её график расположен ниже любой касательной, проведенной в любой точке этого промежутка.

О.: Точки из области определения ф-и, в которых вогнутость меняется на выпуклость( или наоборот) называются точками перегиба графика функции.

  • О.: Точки из области определения ф-и, в которых вогнутость меняется на выпуклость( или наоборот) называются точками перегиба графика функции.
  • Теорема. Необходимое условие существования точки перегиба.
  • Если х0, из области определения ф-и, точка перегиба графика ф-и, то в этой точке у”=0 или не существует.

Теорема. Достаточное условие вогнутости(выпуклости): графика функций:

  • Теорема. Достаточное условие вогнутости(выпуклости): графика функций:
  • Если на некотором промежутке у”>0, то на этом промежутке ф-я вогнута;
  • Если на некотором промежутке y”<0, то на этом промежутке ф-я выпукла;

Достаточное условие существования точки перегиба.

  • Достаточное условие существования точки перегиба.
  • Если при переходе через точку х0ϵD(y), y” поменяла знак, то х0 является точкой перегиба графика функции.
  • Для заданной ф-и:
  • Возможные точки перегиба найдем из необходимого условия.
  • Найдем y”:

y’= 6/x(x+6) = 6*(x2+6x)-1

  • y’= 6/x(x+6) = 6*(x2+6x)-1
  • y”=6(-1)(x2+6x )-2 (2х+6) = -6(2х+6/(х2+6х)2)
  • D(y”) : x(x+6) ≠ 0; x≠0; x≠-6;
  • 0;-6 – не принадлежат области определения функции.
  • y”=0;(2x+6)/x(x+6) = 0.
  • 2x+6=0, x=-3, -3 – не принадлежит области определения функции; x(x+6)≠0, x≠0. x≠-6;

Следовательно, критических точек нет. Точек перегиба график функции не имеет. Так как в данном примере точек перегиба нет, то найдем знак y” в области определения.

  • Следовательно, критических точек нет. Точек перегиба график функции не имеет. Так как в данном примере точек перегиба нет, то найдем знак y” в области определения.
  • y”(1) = -6(1+6/49)˂0;
  • y”(7) = -6(-8/7)˃0;
  • (-∞; -6) – промежуток вогнутости;
  • (0;+∞) – промежуток выпуклости;
  • На основании исследований построим график.


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   15




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет