6) Если предел функции существует, то он единственный.
6) Если предел функции существует, то он единственный.
7) 2-я лемма о пределе.
О.: Для того чтобы существовал конечный предел функции y=f(x) при х→х0 необходимо и достаточно, чтобы функцию f(x) можно было представить в виде: f(x)=b+α(x), где , α(х), при х→х0, - б.м.
8) Если в точке х0 ф-я f(x) непрерывна, то знак ф-и f и значок предела можно поменять местами.
Это свойство позволяет вместо х подставить х0 и тем самым показать, что при х→х0 предел ф-и будет равен значению ф-и в точке х0.
Это свойство позволяет вместо х подставить х0 и тем самым показать, что при х→х0 предел ф-и будет равен значению ф-и в точке х0.
§9 Замечательные пределы
П.1I замечательный предел.
О.: lim при х→х0, но при этом α(х)→0,
П. 2II замечательный предел.
О.:
П.3 Модификация замечательных пределов.
П.3 Модификация замечательных пределов.
На основании II замечательного предела, получено что:
1)
2)
3)
3)
4)
§10 Сравнение бесконечно малых величин(функций)
О.: Говорят, что при х→хо б.м. величина α(х) является б.м. более высокого порядка, чем β(х) при х→х0, если
. Значит α˂β.
О.: В рамках предыдущего определения величина β(х) называется б.м. более низкого порядка, чем α(х).
О.: В рамках предыдущего определения величина β(х) называется б.м. более низкого порядка, чем α(х).
О.: При х→х0 б.м. β(х) и α(х) имеют одинаковый порядок малости, если
Пример:
Пример:
При х→0 х3 б.м. более высокого порядка, чем х2, т.к.
2) В этом случае х2 является б.м. более низкого порядка, чем х3 при х→0.
3) при х→0 б.м. 3х3 и 4х3 имеют одинаковый порядок малости.
О.: При х→хо б.м. α(х) и β(х) называются эквивалентными (α(х) ~ β(х)) , если
О.: При х→хо б.м. α(х) и β(х) называются эквивалентными (α(х) ~ β(х)) , если