Алпысов ақан қанапияұЛЫ
Теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістерінің
жүктеу/скачать 2,26 Mb.
|
stud.kz-86431
- Бұл бет үшін навигация:
- 1.1 Қазіргі таңдағы орта мектеп және жоғары мектеп математикасындағы теңдеулер мен теңсіздіктер желісінің мазмұны мен атқаратын ролі.
| 1 Теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістерінің
дидактикалық-әдістемелік негіздері әдебиеттерді оқу арқылы өздерінің білімдерін толықтырып, түрлі әдістерді біліп1.1 Қазіргі таңдағы орта мектеп және жоғары мектеп математикасындағы теңдеулер мен теңсіздіктер желісінің мазмұны мен атқаратын ролі. Қазіргі таңда орта мектеп және жоғары мектеп орындарында математиканы оқытудың мақсаты-оқырмандарға күнделікті өмірде және қазіргі қоғамда пайдалы еңбек еткенде қажет болатын және де басқа пәндерді оқып меңгеруге, білімін әрі қарай жалғастыруға толық мүмкіншілік беретін математикалық білім, іскерлік және дағдылардың негізін берік және саналы түрде меңгеріп алуын қамтамасыз ету. Орта мектеп және жоғары мектеп орындарындағы білім беру және тәрбие жұмыстары жеке тұлғаның дамуына толық бағытталған деп айтуға әлі жеткілікті негіз жоқ,себебі білім беру тәжірибемізде әлі де дәстүрлі ақпараттық-түсіндірме тәсілі бойынша білім беруден шыға алмай келеміз. Сондықтан да қазіргі таңда алда шешуін талап ететін негізгі мәселелер білім алушыларға жеке тұлға ретінде қарай отырып, олардың шығармашылық мүмкіндіктерін, іс-қабілеттерін арттыру мақсатында оқу үрдісінің мазмұнының іске асырылу жолдарының логикасын қайта қарау, әсіресе болашақ математика мамандарының кәсіби дайындығын қазіргі заман талабына сәйкестендіру. Орта мектепте теңдеулер мен теңсіздіктерге байланысты материалдар математиканың негізгі бөлігін құрайды, өйткені теңдеулер мен теңсіздіктер математиканың әр бөлімдерінде және маңызды қолданбалы есептерді шығаруда кең қолданыс табады. Оқушыларды мектеп қабырғасында теңдеулер мен теңсіздіктер желісінің қолданбалық, теориялық-математикалық желілерімен байланысын құру бағыттарын игерту мәселесі теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге үйрету материалдарын талдау мен сапалы игерту мәселесімен тығыз байланыста. Орта мектептерде теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістерін беру кезінде қойылатын іргелі мақсаттардың қатарында есептерді тиімді шешу дағдылары мен іскерліктерін дамыту проблемасы жатыр. Мәселенің күрделігі мен қиындығынан осы уақытқа дейін ол түпкілікті ғылыми-әдістемелік шешімдерін таба алмай келеді. Сондықтан орта мектепте теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге тереңдетіп оқыту әдістемесін құру оқушылардың теориялық білімдерін нақтылаудың, оларды практикада қолдана алу ептіліктерін қалыптастырудың басты құралы ретінде қарастырудың маңыздылығы артады. Математикада теңдеуді де, теңсіздікті де өмірде болған немесе болып жатқан құбылысты зерттеу құралы ретінде пайдаланады. Теңдеу арқылы процестің дәл шешімі зерттелсе, ал теңсіздік арқылы белгілі бір аралықтағы қозғалыс зерттеледі. Теңдеу мен теңсіздікті білім қалыптастырудың тиімділігі тұрғысынан қарастырғанда, келесі проблемаларды шешу керектігі шығады: Құрылымы әр түрлі теңдеулердің шешімдерін табу әдістеріне үйреткеннен кейін теңсіздіктердің шешімдерін табуға үйрету. Теңдеу мен теңсіздіктердің есептемелерін біріктіріп табуға үйрету. Орта мектепте математиканы оқыту кезеңінде математикалық білімнің жүйелігі мен күрделігінің деңгейін бағалау үшін оқушылардың теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудегі оқыту әдістерін еркін таңдай білуіне, іс-жүзінде қарапайым және қолайлы жағдайды математикалық модель түрінде қарастыру біліктілігіне, күрделі есептерді шешуде математикалық әдістерді қолдана алу деңгейлеріне сүйену керек. Математиканы оқытуда теңдеулер мен теңсіздіктерді шығаруды үйрету ғана емес, ол кез келген проблеманы шеше білуде, қиындықты жеңуде, танымдық және ойлау қабілеттерді жетілдіруде маңызды роль атқарады. Орта мектеп бағдарламасында теңдеулер мен теңсіздіктерден бастап, жоғары дәрежелі теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу теориясы мен практикалық мәселелеріне дейін кең орын берілген. Мысалы, сызықтық теңсіздіктерді шешу, екінші дәрежелі теңсіздіктер көмегімен квадраттық үшмүшені зерттеу, теңдеулер жөнінде талдау жасау, жуықтап есептеулер, иррационал сандар теориясы, сандық қатарлар сияқты мәселелер теңсіздіктер арқылы түсіндіріледі. Тек математикада ғана емес, әр түрлі жаратылыстану ғылымдарында зерттелетін табиғаттың үздіксіз процестері, әсіресе экономикалық, экологиялық және т.б. салалардағы байланыстар теңсіздіктердің көмегімен шешіледі. Теңдеулер мен теңсіздіктер теориясы орта мектепте оқушылардың логикалық ойлау қабілетін дамыта алатындай, өз алдына ғылыми-педагогикалық маңызы бар негізгі оқу материалы болып есептеледі. Ол оқушыларды айқын дұрыс ойлауға, шамаларды салыстыра білуге дағдыландырады. Сондықтан есеп шығару барысында творчестволық қабілеттілік, ізденгіштілік қасиеттерді әр түрлі тәсілдермен шығарып, ішінен ең қарапайым, тиімдісін таңдап алудың маңызы зор. Соңғы кезде орта мектеп математикасында көптеген жақсы бетбұрыстарға қарамастан теңсіздіктер жөнінде мектеп оқушыларының түсініктері мардымсыз екнін іс – тәжірибе көрсетіп отыр. Осы олқылықты жою үшін теңсіздіктер теориясы мен оны үйренудің әдісін жетілдіру қажеттігі туындайды. Теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді оқушылар күнделікті кездестіретін айналасындағы фактілермен байланыстыруы қажет.Егер де тарихқа үнілетін болсақ, практикалық есептерді шығарудың алгебралық әдістерінің бастамасы ежелгі ғылым әлемімен байланысты. Сол кездің өзінде де теңдеулер мен теңсіздіктер құруды талап ететін есептер пайда бола бастады. Алғашқыда мұндай есептерді шығару үшін арифметикалық әдістер қолданылды. Одан әрі алгебралық жағын қарастыру қалыптаса бастады. Қазіргі уақытқа дейінгі теңдеулер мен теңсіздіктердің дамуында әр түрлі әдістердің өзгеріп жаңарып отыруы осы ұғымдардың нақтылануы мен басқа да математиканың бөлімдерімен байланысын ескеріп отыруды қажет етеді. Бұл үрдісте теңдеу мен теңсіздіктердің алгебралық ұғымдар жүйесіндегі мәні маңызды роль атқарады. Теңдеуді алгебраның негізгі ұғымы ретінде қарастыру алгебраның дамуындағы үш фактімен егізделеді: а) теңдеулер сөз есептерді шығарудың құралы; б) теңдеулер алгебрадағы оқу объектісі бола алатын ерекше бір формула; в) теңдеулер кеңістіктегі (жазықтықтағы) координата нүктелерін немесе сандарды жанамалай анықтайтын формула. Сол себептен де теңдеу жалпы математикалық ұғым жағынан көп аспектілі болып келеді. Теңдеудің маңыздылығы мен кең көлемділігіне қарап оны оқып үйрену қазіргі математикалық әдісте мазмұнды-әдістемелік негізде теңдеулер мен теңсіздіктердің желісінің тұтастығымен қамтамасыз етіледі. Бұл жерде мектептегі математика курсындағы теңдеулер мен теңсіздіктерді оқып үйрену, олардың араларындағы байланыс, оларды тиімді шешудегі жалпы және жеке әдістер теңдеулер мен теңсіздіктер желісінің қалыптасуын нақтылау тұрғысынан қарастырылып отыр. Теңдеулер мен теңсіздіктер сонымен қатар функционалдық бағыттармен тығыз байланысты. Осындай байланыстардың ең негізгісі ол функцияларды зерттеуге теңдеулер құрастыру әдістерін қолдану. Бір жағынан функционалдық бағыт теңдеулер мен теңсіздіктер желісінің мазмұнына және оларды үйрену түріне де бір шама ықпал етеді. Негізінде функционалдық бағыт теңдеулер мен теңсіздіктерді зерттеу мен шешуде графиктік көрнекілікті қолдануды қажет етеді. Ал адамдардың күнделікті өмірінде теңдіктерден гөрі теңсіздіктер өте қажет болатыны да белгілі. Теңдіктер теңсіздіктерден логикалық байланыста болады, Теңсіздік пен теңдік байланыстарын қарастыру үшін екі шама айырмасын дәл бағалау керек. Оқушыларды теңсіздіктің күшін сақтау жағдайларын пайымдауға, теңсіздіктің мағынасы жойылмайтындай белгісіздердің мүмкін мәндерін айыруға дағдыландыру керек. Мысалы, алгебралық теңсіздігінде белгісіздің мәндері 1 мен 2–ден басқа сандар болуы керек. Бұл мәндерде бөлшектердің мағынасы жоқ болады. Сонымен теңсіздікті дәлелдегенде және шешкенде әріптер мен белгісіз шамалардың мүмкін мәндерін үнемі есепке алып отыру қажеттігі туындайды. Таңбасы белгісіздің мүмкін мәндерінің бәрінде де сақталатындай теңсіздік шартсыз теңсіздік деп аталады. Мысалы, ; , бұл арада айнымалысының орнына оның мүмкін мәндерінің қайсысын қойса да теңсіздіктің мағынасы өзгермейді. Таңбасы белгісіздің мүмкін мәндерінің кейбіреуінде ғана сақталатындай теңсіздікті шартты немесе белгісізі бар теңсіздік деп атайды. Мысалы, , мұнда болса ғана теңсіздіктің оң бөлігінен сол бөлігі үлкен. Барлық теңсіздіктердің қасиеттерін сандық теңсіздіктер арқылы көрсетуге болады. Енді сол теңсіздіктердің негізгі екі қасиетіне тоқталып өтейік. 1. теңсіздігінен теңсіздігі шығады. Демек, теңсіздіктердің бөліктерін ауыстырғанда теңсіздік таңбасы да ауысады. Бұл қорытынды тікелей теңсіздіктердің анықтамасынан шығады. 2. және теңсіздіктерінен теңсіздігі шығады. Берілген шарт бойынша және .Сондықтан және . Екі теріс санның қосындысы да теріс сан болатындықтан, жақшаларын ашсақ, сонда . Бұл қасиет есептерді шешкенде, теоремаларды дәлелдегенде теңсіздікті күшейту үшін қолданылады. Алгебрадағы теңсіздіктерді дәлелдеу геометриядағы сияқты оқушылардың логикалық ойлау қабілетін дамытуға, теориялық материалды терең меңгеруге, берік практикалық дағдыны қалыптастыруға көмектеседі. Ал соңғы кезде орта мектептегі математиканың бағдарламасында теңсіздіктерді дәлелдеуге дұрыс көңіл бөлінбей келеді. Мектеп оқулықтарында бұл мәселеге арнап есептер құрастырылмаған. Сондықтан біз теңсіздіктерді дәлелдеуге көбірек тоқталуымыз керек. 8-9 сыныптарда оқушылар теңсізідктерді дәлелдеудің бірнеше нұсқасымен танысады. Енді теңсіздіктердің қасиеттеріне сүйеніп жай теңсізідктерді дәлелдеудің кейбір әдістерін қарастырайық. а) Теңсіздік ұғымының анықтамасын пайдалану. 1 мысал. теңсіздігін дәлелдейік. Теңсіздік мүшелерінің айырмасын қарастырайық: Нақты сандардың квадраттарының қосындысы оң санға немесе нольге тең. Ендеше әуелгі теңсіздік дұрыс болғаны. б) Белгілі теңсіздіктердің көмегімен дәлелдеу. 2 мысал. теңсіздігін, яғни сандарының квадраттарының қосындысы, сол сандардың екі еселенген көбейтіндісінен кем еместігін дәлелдеу керек. Ол үшін белгілі теңсіздігін пайдалансақ, немесе шығады. Осы теңсіздіктің салдары ретінде шығатын теңсіздігін көптеген басқа теңсіздіктерді дәлелдеуге қолданамыз. 3 мысал. - оң сандар болғанда теңсіздігін дәлелдейік. Теңсіздіктің сол жағын түрлендірсек: Бұрыннан белгілі теңсіздіктердің қасиеттеріне сүйеніп көптеген теңсіздіктер дәлелденіледі. Оқыту үрдісінде теңсізідктерді шешкенде теңсіздік қасиеттерін қолдана білу дағдыларын барынша дамыту аса маңызды роль атқарады. Бұл болашақта мамандығы математикамен байланыста болатын студенттер үшін қажет. Себебі теңсіздіктердің қасиеттеріне сүйеніп теңсіздіктерді дәлелдеу әдістерін игере алу дағдысы жоғары математика курсын жақсы меңгеру үшін ерекше маңызды рол атқарады. Жоғары мектепте теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің дәстүрлі емес әдістерін іске асыру нәтижесінде жұмыстың негізгі мазмұнын жете түсінуге, тақырыпты оқытудың технологиясын игеруге мүмкіндіктер жасалынады. Қазіргі замаңдағы техника мен технологияның шапшан дамуы болашақ математика мамандарынан жаңа технология мен идеяларды тез меңгеруді талап етеді. Сондықтан жоғары білікті мамандарды дайындау жалпы және арнайы білім деңгейіне, олардың дұрыс үйлесуіне байланысты болады. Жоғары оқу орындарда, бірінші кезекте, студенттердің кәсіби дайындық сапасына ықпал ететін олардың жалпы білімдік, оның ішінде математикалық дайындығын арттыру мәселесі өте маңызды болып отыр. Сондықтан да дәрежелік функциялары бар теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің әдіс-тәсілдерін студенттерге үйрету, болашақ математика мұғалімдерінің біліктілігі үшін өте маңызды роль атқарады. Жоғары мектептерде математика курсын оқыту екі мәселені шешуге бағытталған: студенттердің математикалық дайындығын жалпы білім беру деңгейімен қамтамасыз етудің тиімді жүзеге асырылуы; арнайы дайындықты математикалық білім жүйесімен қамтамасыз ету, яғни алынған білімді кәсіби қызметінде пайдалануға қажетті математикалық білім мен білікті қалыптастыру. Математикалық білім берудің осы екі аспектісі пәннің мазмұнында, қалыптасатын білік пен дағдыда, жаттығулар сипаттамасында, тақырып пен сұрақтарда және басқа әдістемелік мәселелерді баяндау ретінде толық бейнесін табу керек. Осы мәселелерді шешу дәрежелік функциялары бар теңдеулер мен теңсіздктерді шешу үрдісінде де іске асырылуы тиіс. Жоғары мектепте өтетін тақырыптық дәрістер мен практикалық тәжірибелер қазіргі заман талабына сәйкестірілгенде білікті, жан-жақты дамыған мамандар даярланатына көз жеткізуге болады. Сондықтан жоғары мектептерде білім беруді дамыту проблемасын қарастырғанда, базалық математикалық білім беру туралы сұраққа, яғни математика маманының математикалық дайындығы қандай болуына жауап іздемей оны айналып өту мүмкін емес. Жоғары мектептердегі теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде жаңа әдістемелерді еңгізудегі білім беру жүйесінің сапасы студенттердің маман моделіне қаншалықты сәйкес келетіндігімен, болашақ математика мамандығын қандай деңгейде меңгергендігімен анықталады. Жоғары оқу орындары студенттерінің басым көпшілігі білім негізін игергенмен шығармашылық іс-әрекет етуге дайын еместігіне, олардың алған білімдерін жоғары дәрежеде мұғалімдік міндеттерді шешуге қолдана алмайтындығы. Осыдан болашақ мамандардың математикалық дайындығының жоғарғы мектептерде әлі де болса дұрыс жолға қойылмағандығымен түсіндіруге болады. Сондықтан жоғары оқу орындары студенттерінің математикалық дайындығына ықпал жасайтын жоғары математика курсында практикалық сабақтарды өткізудің әдістемесін жетілдіру, яғни теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде оқыту мазмұнының қолданбалық бағытын күшейту. «Нысанды тапсырмалар жүйесін» оқыту тәжірибесіне еңгізу, жоғары мектепте студенттердің математикалық дайындығының артуына ықпал жасайды. Болашақ математика мамандары жоғары мектеп қабырғасынан жан-жақты және іргелі білім жүйесін алуы қажет. Білім жүйесінің іргелілігі-теңдеулер мен теңсізідктерді шешуде студенттердің талаптарын қанағаттандыратын бірден-бір сара жол. Студенттердің жоғары теориялық және практикалық дайындықтарының бір-біріне сәйкес келуі жоғары мектеп өмірі үшін негізгі міндеттердің бірі. Студенттер математиканы оқыту практикасында оқытылатын материалды меңгерумен қатар қосымша, оларды өздігінен қолдануға дағдылану арқылы математикадан алған білімдерін толық меңгереді. Сондықтан тақырыптарды игеру барысында творчестволық қабілеттілік, ізденгіштік қасиеттерді дамытып өрістетуге берілген тақырыпты әр түрлі тәсілмен түсіндіріп, ішінен ең қарапайым, тиімдісін таңдап алудың маңызы зор. Жоғары оқу орындарындағы даму тенденцияларын анықтап, оқытудың қоғамдағы әлеуметтік-экономикалық ахуалға сәйкес моделін қарастыруға болады. Математикалық білім беруді дамытудың стратегиялық бағытын және алдын-ала болжаудың біртұтас кешендік мәселелері айқындалып, оның қазіргі кезеңдегі болашақ математика маманның математикалық мәдениетінің бір элементі ретіндегі орны мен мақсаттарын анықтау проблемаларын шешу қажет, яғни студенттердің меңгеру деңгейіне қажетті және тиімді мазмұн көлемін анықтайтын, қазіргі талапқа сәйкес математикалық білім негізін жете зерттеу мәселесі өзекті мәселенің бірі болып отыр. Сонымен жаңа технология бойынша жоғары мектептерде теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің әдістемесін жетілдіру, оқыту мазмұнының қолданбалық бағытын күшейту, алған білімдерін практикада қолдануға талпындыра отырып, оқыту процесінің әдіс-тәсілдерін қолданудың тиімді жолдарын кешенді түрде игерулеріне мүмкіндік береді. Жоғары мектепте теңдеулерді, теңсіздіктерді әр түрлі жүйелік кластарды оқып білу барысында жалпы және универсалды шешімдер мен зерттеу тәсілдерінің ролі айқындала түсуде. Ондай тәсілдерді үш топқа бөлуге болады. Бірінші топқа логикалық әдіс арқылы шешімге келу болып табылады. Бұл әдістер арқылы алғашқы теңдеуден, теңсіздіктен және жүйеден жаңа тәсілге ауысады. Ондай ауысулар белгілі кластарға қатысты тапсырмалар орындалғанша жүргізіледі. Екінші топ есептеуіш тәсілдерден тұрады, бұлардың көмегімен теңдеу немесе теңсіздіктің бір бөлігін жеңілдету арқылы жүргізіледі, сонымен қатар белгісіздің орнына түрлі аралық есептеулерді қою арқылы табылған түбірлерді тексеру арқылы өтеді. Есептеуіш тәсілдердің ролі теңдеудің түбіріне жақын мәнді табудағы тапсырманы орындағанда байқалады. Сандық есептеулерді жүргізу мүмкіндіктері есептегіш құралдарды пайдалану барысында үдей түседі. Үшінші топқа көрнекі-графикалық тәсіл жатады. Осы тәсілдердің көбін координаталық түзу немесе координаталық жазықтықтың негізінде пайдаланады. Координаттық түзуді пайдалану кейбір теңсіздіктер мен бір белгісізі бар теңсіздік жүйесін және теңдеулер мен модульді теңсіздіктерді шешуге мүмкіндік береді. Мысалы, бір белгісізі бар сызықтық теңсіздіктерді шешуде алдымен координаталық түзуге теңсіздіктің көптеген шешімдері жүргізіледі, одан барып олардың жалпы бөлігі белгіленеді. Теңдеулер мен модульді теңсіздіктерді шешу сандардың түрлілік модульдеріне геометриялық түсінік берумен байланысты. Мысалы, теңдеудің шешімі координаталық түзуге координаталық нүктесінен нүктесіне дейін қашықтаған нүктені табуға әкеледі. Координаталық жазықтықты пайдалану графиктік әдістерді теңдеулер мен бір және екі белгісізі бар теңсіздіктерді зерттеу мен шешуде пайдалануға мүмкіндік туғызады. Жоғары мектептегі математика курсында графиктік әдісті пайдаланудың ең көрнектісі-бір белгісізі бар екі сызықтық теңдеулер жүйесін көрсетудің графиктік әдісін пайдалану болып табылады. Бұл әдіс негізінен теңдеулер мен теңсіздіктерді зерттеу үшін пайдаланады. Дайындық кезеңі ретінде екі белгісізі бар сызықтық теңдеулердің графигін қарастыру керек. Графиктік әдістер аналитикалық жазулар қолайсыз болған жағдайда зерттеу қорытындыларын көрсету үшін қолданылады. Мысал ретінде теңсіздігіне көрсетілген көптеген шешімдер келтірілген схемасы алуға болады. Студенттер жаттығу барысында мұндай схеманы пайдалануға үйреніп, одан оны елестетіп пайдалануға үйренеді. Кейде графиктік әдіс түбірлердің сандық мәні немесе шешім компоненттерін анықтауда қолданылады. Мысалы, бір белгісізі бар теңдеудің шешімінің графиктік әдісі , және функцияларының графигі қиылысу нүктелерінің абсциссасын табудан тұрады. Мұнда теңдеулер жүйесін шешу үшін графиктік әдіс қолданылады. Тақ дәрежелі теңдеулер әр түрлі графикте кескінделуі мүмкін екендігін айта кеткен жөн. Теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудегі графиктік әдістерді қолдану студенттердің ойлау қабілетін дамытып теория мен практикадан меңгерген білім мен іскерлігін оқу-әдістемелік жұмыстарда пайдалана алуын қамтамасыз етеді. Қорыта айтқанда, координаталық жазықтықты пайдаланатын графиктік әдістер теңдеулермен бір және екі белгісізі бар теңсіздіктерді және олардың жүйелерін шешуде маңызды роль атқарады. Бұл әдістің екі белгісізі бар теңсіздіктерге қолданыстағы ролі өзгеше, мұнда бұл әдіс тек көріністің жауабын көрсету үшін қолданылады. Айтылған графиктік тәсілдер координаттық әдістердің негізгі құрамдас бөлігі болып табылады. Координаттық әдістердің әріқарай игерілуі геометриялық фигуралардың теңдеулер мен теңсіздіктер арқылы берілуін зерттеу арқылы жүзеге асырылады. Студенттердің математикалық дайындығындағы басты мақсат-олардың тек математикалық білімдер жиынтығын игеруі ғана емес, сонымен қатар ол білімді практикада туындайтын әртүрлі теңдеулер мен теңсіздіктер құру арқылы шығарылатын есептерді шеше білуді игеру болып табылады. Күрделі есептерді шығарғанда студенттердің ойлау әрекеті түрлі ғылыми әдістерді қолданудан тұрады. Олар бірлікте, белгілі бір өзара байланыста болады және есеп шығару процесінде біртұтас аналитикалық – синтетикалық іс-әрекет түрінде бой көрсетеді. жүктеу/скачать 2,26 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|