Болєандыќган оныѕ туындысы бар болуы мїмкін
жүктеу/скачать 368 Kb.
|
«Математика курсындағы экономика элементтері»
- Бұл бет үшін навигация:
- 15-16 сабақ. Функцияның кризистік нүктелері
| Есептер шығару
Жүктің 1км теміржолмен тасымалдау құны – k1 теңге, ал автомобильмен 1км тасымалдау құны k2 теңге. Суретке А пункінен С пунктіне жүкті ең арзан бағамен жеткізу үшін, асфальт жолды қай орыннан бастап салу керектігін көрсет. Мұнда |АВ|=а, |ВС| = b. Көлемі V-ға тең, толық бетінің ауданы ең кіші болатын цилиндрдің R радиусі мен H биіктігінің арасындағы қатысты табу керек. 2. Көрсетілген функцияларға толық зерттеу жүргізіп, олардың графигін сал: 2.1 y=x2-2x+2/x-1 2.2 y=x+1/(x-1)2 2.3 y=xInx 15-16 сабақ. Функцияның кризистік нүктелері Туынды ұғымы функцияларды зерттеу кезінде, олардың графиктерін салуда қолданылады. Туындыны қолдана білу үшін біз дифференциалдық есептеудің бірнеше негізгі теоремаларымен танысуымыз керек. f (x) > 0 және f < 0 болғанда функцияның қалай өзгеретінін қарастырамыз. Функцияның туындысы нолге тең немесе туындысы жоқ болатын анықталу облысының ішкі нүктелері сол функцияның кризистік нүктелері деп аталады. Функцияның графигін салғанда бүл нүктелер маңызды роль атқарады, өйткені тек сол нүктелер ғана функцияның экстремум нүктелері бола алады. Сәйкес пәкәрдә тұжырымдаймыз – оны Ферма теоремасы деп аталады. Онымен кейін танысармыз. Экстремум нүктелері деп максимум және минимум нүктелерін атаймыз. Функция максимуның белгісі. Егер f функциясы х0 нүктесінде үздіксіз болса және (а; х0) интервалында f' (х) > 0, ал (х0; в) интервалында f' (х) < 0 болса, онда х0 нүктесі f функциясының максимум нүктесі болып табылады. Функция минимумның белгісі. Егер f функциясы х нүктесінде үздіксіз болса және (а; х0) интервалында f' (х) < 0, ал (х0; в) интервалында f' (х) > 0 болса, онда х0 нүктесі f функциясының минимум нүктесі болып табылады. Мысал-1. у = х(х-2)3 функциясының экстремумы бар немесе жоғын зерттеңіз. Шешуі. Функцияның туындысын табамыз: у' = (х-2)3+Зх(х-2)2, у' = (х-2)2(4х-2), яғни у' = 4 ( х - 2) 2 ( х - 1/2) . Туындыны нөлге теңестіре отырып, күдікті нүктелерін анықтаймыз: у' = 0 => х1=1/2, х2 = 2. :у' функциясы сан осіні барлық нүктелерінде анықталған, сондықтан осы екі нүктеден басы күдікті нүктелер жоқ. Енді осы екі нүктенің маңайларындағы туындының таңбаларын анықтаймыз, мысалға, интервал әдісімен. 1/2 + С 2 + - онымен х= ½ нүктесі төңіректік минимум нүктесі болады, х = 2 нүктесінде экстремум жоқ Э ƒтөң.min= ƒ(1/2)=1/2 (1/2 – 2)³ = 1/2 (– 3/2)³ = - 27/16 кстремумның жеткілікті шарты Теорема. Екі рет дифференциалданатын у =ƒх) функциясының бірінші туындысы х0 нүктесінде нөлге тең болсын: ƒ'(х0) = 0 Егер х0 нүктесінде екінші туынды оң болса (ƒ"(х0)>0), онда х0 функцияның төңіректік минимум нүктесі, ал егер теріс болса (ƒ"(х0) < 0), онда төңіректік максимум нүктесі болады. Дәлелдеуі. ƒ'(х0) = 0 жөне ƒ"(х0)>0 болсын. Олай болса х0 нүктесінің бір маңайында ƒ'(х) функциясы өседі. Сондықтан ƒ'(х0)=0 болғандықтан х0 нүктесінің сол жағында ƒ'(х) < 0, ал оң жағында ƒ'(х)>0. Онда экстремумның бірінші жеткілікті шарты бойынша х0 —төңіректік минимум нүктесі болады. ƒ'(х0) және ƒ''(хо)< 0 жағдайы да осылай қарастырылады. Мысал. Өнеркәсіп өзінің әрбір өнімін р теңгеге сатады және өнімді щығаруға жұмсалатын шығынмен өнім көлемінің арасындағы байланыс s (x) = ах + λх3 (а < р, λ > 0) функциясымен берілген. Мұндағы х— өндірілген өнім көлемі. Өнеркәсіп үшік тиімді өнім көлемін жөне оған сәйкес пайданы табыңыз. Шешуі. х арқылы өндірілген өнім көлемін белгілейміз де, пайда функциясын құрамыз: С(х) = рх - s (х), яғни С(х) = рх –(ах + λ х3). Мұнда рх-сатылған өнімнен түсетін табыс. С(х) функциясынан туынды табу аркылы оның күдікті нүктелерін табамыз. С'(х) = р – а - 3λ х2)=0→х1 =√р – а/3λ, х2 = √р –а/3λ Есептің мағынасы бойынша х > 0. Сондықтан х2 нүктесін қарастырмаймыз. Осыдан С(х) функциясының екінші туындысының таңбасы арқылы х1 нүктесінің қандай күдікті нүкте екендігін көреміз. жүктеу/скачать 368 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|