ОҚу-методикалық материалдар семей 2010 Алғы сөз
жүктеу/скачать 2,72 Mb.
|
|
Вариантаның арифметикалық ортадан ауытқуларының қосындысы нөлге тең, яғни  ,  .
Егер белгінің әрбір мәнін тұрақты А – ға өсірсек (кемітсек) она арифметикалық орта да сол тұрақтыға өседі (кемиді), яғни Егер белгінің әрбір мәнін тұрақты С – ға көбейтсек (бөлсек), онда арифметикалық ортада С – ға көбейтіледі (бөлінеді), яғни 
Х және У белгілер қосындысының (айырмасының) арифметикалық ортасы олардың арифметикалық орталарының қосындысына (айырымына) тең, яғни  , а - кез - келген тұрақты. Бұл қасиет былай кеңейтіледі:
 , l тұрақты сан көбейткіш.
1-мысал. Қазіргі кезде әлеументтік эксперимент кең өріс алуда. Солардың бірі «Оқытушы студенттің көзқарасымен жүргізілетін анкета». Бұл анкетадағы әрбір сұрау бойынша (олардың саны 18, бұдан азайтуғада көбейтугеде болады). Студенттер оқытушының оқу пәнін өткізу сапасын, лекторлық қабілеттін және т.с.с. 9 балдық жүйемен бағалайды. Анкета толтырған бір студенттің оқытушы туралы пікірі мынадай болады: 8; 7; 7; 5; 6; 4; 7; 7; 5; 8; 8; 7; 9; 7; 6; 7; 6; 5. Анкета толтырған студенттің оқытушыға қойған 9 балдық орта бағасын анықтау керек. (1) формуласы бойынша орта бағаны барлық бағалар қосындысын 18-ге бөліп табамыз, яғни  балл.
Ескерту. Оқытушы жұмысын бағалағанда сол группадағы студенттердің орта бағасы анықталады. Осылай анықтағанда арифметикалық ортаны есептеуден қателесетіндер де кездеседі. 2- мысал. Сынып саны төрт болсын. Әрбір сынып бойынша алынған баға және оларға сәйкес балалар саны мына 8- таблицада берілген. Әрбір сынып және барлық 4 сынып бойынша орта баға мәнін есептеу керек. Әрбір сынып бойынша, оқушылардың орта бағасы 7 - ші бағанада жазылған 2 кесте
Барлық сынып бойынша оқушылар саны n=132, олардың бағаларының арифметикалық ортасы Әдетте мәндерін қосып сынып санына бөледі, сонда Айырым жүздік үлесте болып отыр. Жіберетін салыстырмалы қате: Әрине бұл ескертетін жайт, өйткені бұл мән кейде үлкен болып шығуы мүмкін. Гармоникалық орта
формуласымен анықталады. Геометриялық орта формуласымен анықталады. n үлкен болғанда (5) теңдігінің екі жағынан логарифм аламыз, сонда ол 
түрінде жазылады.Бұдан х-тің мәнін табу қиын емес. Дәрежелік орта формуламен өрнектеледі. Бұл формуладағы параметр α-ға түрлі мәндер беру арқылы жоғарыда келтірілген орталарды алуға болады. Шынында да, егер Құрылымдық орталар Жоғарыда айтылған орталар, үлестірудегі вариянта мәндерімен тығыз байланыста болатын . Ал қарастырайық деп отырған құрылымдық орта болса үлстіру ұштарында орналасқан варианта мәндеріне тәуелсіз болып реттелген варианталар қатарына, яғни үлестіру құрылымының өзімен ғана байланысты. Құрылымдық ортаға медиана, мода, мен квартилдер жатады. Медиана.. Жиынтықты тең етіп екіге бөлетін белгі мәнін медиана дейміз. Егер белгінің өзгеруші мәндері тақ болып, ұлғаю ретімен орналасса  онда бұл үлестіру үшін  медианасы ваиантасына тең, яғни ,, өйткені =-нен төмен де және жоғары да белгінің саны бірдей мәндері орналасқан.
Ал вариянта саны жұп болса, 
1-мысал. Х - тің қабылдайтын мәндері 1; 3; 7; 10; 14 болса, онда =7, өйткені варианталар саны 5, сондықтан 5=2m-1, бұдан m=3 сәйкес Х - тің мәні 7- ге тең.
2- мысал. Мына 3 - кестедегі 2-ші, 3-ші бағанасында кетірілген мәліметтер бойынша мәнін анықтау керек.
Шешуі. Бұл берілгендерді нөмірлеп (1 – ші бағана) төртінші бағанаға жиынтық жиілігін жазамыз. Сонда медианалық интервал 4- ші болады (  ), өйткені интервалдар саны тақ, олардың саны 9. Бұған сәйкес интервалдың төменгі шегі  , басқалары  ,  ,  ,  болуын анғару қиын емес. Демек (2) формуладан
 .
3 кесте.
Квартильдер. Медиана реттелген қатарды екі тең топқа бөлгенін көрдік. Осы сияқты ол қатарды 4 - ке, 10 - ға бөлуге болады. Белгінің екі тең топқа бөлетін мәнін медиана десек, 4 - ке бөлетін мәндер квартиль, 10 - ға бөлетін мәндер дециль, жалпы бірдей бірнеше тең бөліктерге бөлуді квантиль дейміз. Сонда медиана, квартиль және дециль осы квантильдің дербес түрі болуын байқау қиын емес.  төменгі қатарды екіге бөлетін бөлік, мұны төменгі қатарды екіге бөлетін бөлік, мұны төменгі төменгі квартиль дейді; үшінші квартиль  медианадан жоғарғы қатарды екіге бөлетін бөлік, мұны жоғарғы квартиль дейді, екінші квартиль медианамен бірдей. Медиана төменгі және жоғары квартильдермен қосылып барлық жиынтықты тепе –тең төрт топқа бөледі.
Белгі дискретті болса, онда квартиль мәндері медиана мәнін есептегендей анықталады. Ал белгі үздіксіз болса, яғни мәндері интервалдарға топталса, онда олар, яғни Бұл формулалардағы белгілеулер мәні (1) формуласына ұқсас, яғни 3-мысал. 3- кестенің 2-ші, 3-ші бағанасында кетірілген мәліметтер бойынша төменгі Шешуі. Бұларды табу үшін 4-ші бағанадағы жинақты жиілікті пайдаланамыз. Сонда Ал интервалды варияциалық модасын анықтау күрделілеу. Бұл жерде де медиананы есептеген сияқты анықталады, яғни алдымен мода болатын интервалды, мұндай интервалдар бірнешеу болуыда мүмкін, анықтайды, одан соң моданың сандық мәні табылады. Бұл жағдайда мода мәнін, моданың жуық мәнін, мына формуламен анықтаймыз: Мұнда 4-мысал. 3 - кестедегі мәліметтер бойынша мода мәнін анықтау керек. Шешуі. Арифметикалық орта, медиана және мода арасындағы байланыс. Эмприкалық үлестірудің негізі бұл үш параметірінің арасындағы байланыс үлестірудің ассиметриялылығын бағалауда қолданылады. Ал үлестіру симметриялы болса, онда  болатынын байқау қиын емес. Атап айтқанда медиана, мода мен арифметикалық орта арасында орналасқан. Модадан медианаға дейінгі қашықтық екі еселенген арифметикалық орта мен медиана арасындағы қашықтыққа тең. Кейде бұл қашықтықты екеуі бойынша үшінші параметірді шамалап бағалау үшін пайдаланады. Мысалы, моданы медиана мен арифметикалық орта бойынша бағалайды. Осы параметірлердің ішінен мағнасы жағынанда ең қарапайым арифметикалық орта. Сондықтан басқа орталар жайлы арнайы негіздеме болмаса осы арифметикалық ортаны алған жөн. Ал жаңадан бастаушы статистик тек арифметикалық ортаны пайдаланудан бастаса қателеспейді. Сонымен қатар әрқандай белгі мәндерінің өзгеруі мен арифметикалық ортада өзгеретінін ұмытпауымыз керек. Бұл жайт әсіресе үлестірудің шекті варианталарында сезімтал келеді. Ал медиана мәні болса өзінен оң не сол жақта жатуына байланысты емес, өйткені анықтама бойынша медианадан кем және артық варианталар саны бірдей талап етеді. Сондықтан медиананы ұштары дәл емес немесе сенімсіз болған үлестірулер үшін орта мән ретінде пайдаланған жөн. Ал мода болса ассиметриялық үлестірудің басым көлемі топтасқан белгінің бір немесе бірнеше мәндерін айқындауға мүмкіндік береді. Әдетте жолаушы көліктер графигін жасауға қажетті заттарды көбірек шығаруды жоспарлауға мода жиі пайдаланылады.
Әдебиет: (3) бет. 568-616 жүктеу/скачать 2,72 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
болса, онда 
болады.
. Мысалы, 
-ні алу үшін -дің әрбір мәнін -дің сәйкес мәніне көбейтіп, қосындысын оқушылар саны 39-ға бөлдік.
(4)
(5)
(6)
болса, онда арифметикалық ортаның (1) формуласын аламыз. Егер α =2 болса, онда орта квадраттық формуласын аламыз, сондай-ақ 
т. т. формулаларында алуға болады. Егер де α =-1 болса, онда гармоникалық орта формуласын аламыз. Егер де α=0 болса, анықталмағандық шығады. Мұны Лопиталь ережесі бойынша айқындасақ, геометриялық орта формуласын аламыз. Сондықтан дәрежелік формуласын орталардың кеңейтілген формуласы ретінде де қарастырады.
онда бұл жиынтықты тең екіге бөлетін медиана мәні 
аралығында болады. Бұл жағдайда медиана 
;
.
бірінші, үшінші квартиль болатын интервалдың төменгі шекарасы: 
- бірінші квартилді қамтитын интервал алдындағы интервалға жинақты жиілік: 
-квартиль болатын интервалға сәйкес жиілік; ал k, N мәндері (1) формуласындағыдай.
,
- модалық интервалдың төменгі шекарасы, k - модалық интервал ұзындығы, 
- модалық интервал алдындағы интервалға сәйкес жиілік 
- модалық интервалдан кейінгі интервалға сәйкес жиілік.