Тақырып 4. Ықтималдықтар теориясының элементтері. Дәріс жоспары

1. 
   Ықтималдықтар теориясы пәні.
   
2. 
   Негізгі ұғымдар мен теоремы.
   
3. 
   Кездейсоқ шамалар және олардың үлестірілуінің негізгі заңдары.
   
4. 
   Кездейсоқ шаманың негізгі сандық мінездемелері: математикалық күтім, дисперсия.
   
5. 
   Кездейсоқ шамалар үшін қалыпты үлестіру заңы.
   
6. 
   Деректерге амалдар қолдану.
   

Бөлек бақылау жүргізудегі тәжірибені сынақ деп атайды, ал сынақ нәтижесін оқиға дейді /мысалы тиынды тастау кезінде екі оқиға болуы мүмкін: тиынның бір жағы немесе екінші жағы.

Белгілі кешендік шартты орындау барысында оқиғаларды келесі түрлерге айырады:

1. 
   Ықтимал, яғни міндетті түрдеболатын оқиға /мысалы, тиынды бір рет тастағанда гербі немесе цифры түсетіндігі/.
   
2. 
   Ықтимал емес, яғни ешқашан болмайтын оқиға /мысалы біріңғай қара шар салынған жәшіктен ақ шар алу/,
   
3. 
   Үйлесімсіз, яғни бір мезгілде болмайтын оқига /мысалы, тиынды бір рет тастағанда герб және цифр болуы/.
   
4. 
   Қатар, яғни бір мезгілде орындалатын оқиға /мысалы, снарядтың нысанаға тиуі және жарылғыштың жарылуы/.
   
5. 
   Толық топ, яғни сынақ кезінде топтағы оқиғалардың біреуі міндетті түрде болады /мысалы, ойын кубигін тастағанда бір қырының түсетіндігі/.
   
6. 
   Қарама-қарсы, яғни екі үйлесімсіз оқиғалар толық топ береді.
   
7. 
   Тең ықтимал, яғни тәжірибе кезінде болу ықтималдығы тең оқиғалар.
   
8. 
   Тәуелсіз, яғни болу ықтималдығы алдыңғы болған оқиғаға байланысты емес оқиғалар /мысалы, тиынды тастағанда оның герб түсуі алдыңғы оқиғада тиынның қандай беті түскендігіне байланысты емес/.
   
9. 
   Тәуелді, яғни болу ыктималдығы алдыңғы оқиғаға байланысты оқиғалар /мысалы, жәшікте п ақ шар болса одан бір ақ шар алынып және оны қайтадан жәшікке салмаса, онда келесі тәжірибеде жәшікте п-1 ақ шар қалады/.
   

Толық ықтималдық оқығалар U әріпімен белгіленеді; ықтимал емес - V

әріпімен; А оқиғаға қарама қарсы оқиға –.

Егер оқиға ықтималдығы бірге немесе нөлге жақын болса, ондай оқиғаны практикалық толық немесе практикалық ықтимал емес оқиғалар дейді. Мысалы артиллериядан 1000 снаряд атқанда оның 999 снаряды жарылын, ал біреуі жарылмады делік, онда снарядтың жарылу ықтималдығы 0,999, ал жарылмауы - 0,001 болады. Бір рет атқандағы снарядтың жарылмауы практикада мүмкін емес деп қарауға болады, ал оның жарылуы практикада толық деуге болады.

1.1. Кездейсоқ окцға. Ықтималдық және жиілік

Салыстырмалы жиілік деп болған оқиғаның т жүргізген тәжірибе санына п қатынасын айтады, яғни

Сансыз көп тәжірибе жүргізгенде жиілік оның ықтималдығына жақындайды, яғни

Ықтималдық 0 ден 1-ге дейін өзгереді, яғни

0 <р < 1.

Толық ықгималдық 1-ге, ал ықтимал емес 0-ге тең болады.

1. 
   Мысал: Жәшікте а ақ және в қара шар бар. Кез келген алынған шардың ақ болу ықтималдығын анықта.
   

2. 
   Мысал: Көп сандық зандылықты тексеру мақсатында француз ғалымы Бюффон 1777 жылы тиын тастаудан тәжірибе жүргізген. Тиынды 4040 рет тастағанда 2048 рет герб түскен. Гербтің түсу жиілігін анықта.
   

№5 ДӘРІС

1. 
   Өлшеулер классифиткациясы.
   
2. 
   Өлшеу жағдайлары.
   
3. 
   Қажетті және артық (избыточных) өлшеулер ролі.
   
4. 
   Өлшеу қателері және олардың түрлері.
   
5. 
   Өрескел мүлт кетулерді (қателерді) табу тәсілдері және жүйелік қателерді болдырмау.
   

Қателер теориясы математикалық статистика мен ықтимал теориясының негіздеріне сүйене отырып өлшеу қателерінің шығу тегін және үлестіру заңын, сондай-ақ түрлі қателердің қасиеттерін және және өлшеу әдістемесән жетәлдіру, өңдеу сияқтыларды оқиды.

Қателер теориясының негізгі есептері.

1. 
   Өлшеу қателерінің үлестіру заңын оқу;
   
2. 
   Тікелей өлшенген өлшеу нәтижелерінің және олардың функцияларының дәлдігін бағалау;
   
3. 
   Ең сенімді анықтау шамасын және дәлдік сипаттамсын табу;
   
4. 
   Өлшеу нәтижелерін белгілі шектік дәлдікте ұстайтын қатені анықтау.
   

Қателер өлшеулерге тигізетін әсеріне және шығу тегіне байланысты үшке бөлінеді.

Тигізетін әсеріне байланысты қателер дөрекі, жүйелі және кездейсоқ болып бөлінеді:

1. 
   Дөрекі қателер деп белгілі бір шектен асып кеткен шаманыайтады. Ондай қателер көп жағдайда орындаушының немқұрайлығынан болады.дөрекі қателерді өайталап өлшеу арқылы біліп, оны өлшеу шамаларын өңдеу кезінде шығарып тастайды.
   
2. 
   Жүйелі қателер деп бірнеше рет өлшенген кезде қателер шамасы өзгермейтін немесе бірдей шамаға өзгеріп отыратын қатені айтады.
   
3. 
   Кездейсоқ қателер деп өлшеу кезінде өлшеу шамасына байланыссыз және ешқандай заңдылыққа бағынбайтын қателерді айтады.
   

№ 6 ДӘРІС

1. 
   Оларды үлестіру заңдары.
   
2. 
   Өлшеулердің кездейсоқ қателіктерінің қасиеттері.
   
3. 
   Өлшеу нәтижелерінің дәлдік шаралары- орташа квадраттық ауытқу, орташа ықтималдылық және шектік қателіктер.
   
4. 
   Олардың бірі – бірімен байланысы.
   
5. 
   Дөңгелектеу қателіктері және олардың қасиеті.
   

Кездейсоқ қателердің үлестіру моделін қарапайым үлестіру көрсетеді.қарапайым үлестірудің тығыздығы мынадай формуламен көрсетіледі:

Бұл жерде - орта квадратты ауытқу.

Бұл функциялық графикті Гаусс қисық сығы дейді және ол у өсіне симметриялы болады.

Бұндай жақындақты көрсету үшін орта квадратты ауытқу қолданады.

Кездейсоқ қатенің математикалық күтуі нөлге тең болғандықтан, яғни оны дисперсия

немесе

Бұл жерде - кездейсоқ қатенің тығыздығы. Тең ділдікті өлшеулерде орта квадратты ауытқу тұрақты болады, яғни .

№ 7 ДӘРІС

1. 
   Кіші квадраттар принципіні негізделуі.
   
2. 
   Өлшеу салмағы.
   
3. 
   Салмақ бірлігінің қателігі.
   
4. 
   Шаманың неғұрлым сенімдірек мәні.
   
5. 
   Кейбір жеке мәндерді орташа мәндерден ауытқу қасиеттері.
   
6. 
   Бірнеше, тәуелсіз өлшеудің кездейсоқ қателік көздерінің бір шаманы өлшеу дәлдігіне бірігіп әсер етуі.
   
7. 
   Тәуелсіз өлшенген шамалар функциясының орташа квадраттық ауытқуы.
   
8. 
   Өлшенген шамалар функциясының салмағы.
   
9. 
   Ортақ және қарапайым арифметикалық ортаның орташа квадраттық ауытқуы.
   
10. 
    Осы шамалардың салмағы.
    

Егер өлшеулер бірдей жағдайда жүргізілмесе, яғни дисперсиялары әртүрлі болса, онда олардың орта квадратты қателері,де әртүрлі болады, ондай өлшеулерді тең дәлдіксіз өлшеулер дейді.

Тең дәлдіксіз елшеулерді өңдеу кезінде жаңа сипаттама (характеристика) қосады, оны өлшеулер салмағы дейді.

Өлшеулер, салмағы р мынадай формуламен анықталады:

яғни жерде к барлық елшеулер њшін алынған кез келген сан; о² - дисперсия. Дисперсияның нақты мөнін білу оте қиын, сол себептіі олшеу салмағын мынадай формуламен анықтайды.

11. 
    к
    
12. 
    Р ~ 2 '
    
13. 
    т
    
14. 
    яғни сгД = т² деи алады. Яғни жерде т орта квадратты қате. к -кез келгең сан болғандықган, салмақ тек салыстырмалы сипаттама болады, яғни елшеу салмағын бірдей санға кебейткеннен немесе болгеннен оның қатынасы озгермейді. Яғни елшеу салмағының бірінші қасиеті.
    
15. 
    Егер екі елшеу салмағы сөйкес болса, к __к_
    
16. 
    Р\ —г Рі ~ 7
    
17. 
    - - т' т₂
    
18. 
    онда бірінщі болшекті екінші белшекке беліп табамыз