Исследование устойчивости по критерию Рауса – Гурвица

2.1 Исследование устойчивости по критерию Рауса – Гурвица

Устойчивость исследуют по коэффициентам характеристического уравнения (2.1) оформляя простые математические выкладки в виде таблицы расчетных данных (таблица 2.1) Методика оформления таблицы иллюстрируется на примере характеристического уравнения (1.21) при n = 5.

0,0001	0,188	1,8
1880	18000	0
0,0117	0,98	7
83,76	598,3	0
1796,2	17402
9,688	0
74,072	598,3
8,1	0
1,6	0

Все элементы первого столбца положительны. Следовательно, следящий электропривод устойчив.

Определить устойчивость системы при следующих значениях коэффициента К: а) К = 50; б) К = 100.

а) б)

2.2 Построение области устойчивости

Область устойчивости – это геометрическое место точек на плоскости параметров системы, соответствующих ее устойчивому состоянию. Номограмма с указанной на ней областью устойчивости заменяет вычисления по формулам выполнением простейших геометрических построений с помощью линейки и считывания отсчетов. Применяется для исследования зависимости устойчивости от параметров системы, ее чувствительности к изменению параметров по условиям устойчивости, для обоснованного выбора регулируемых параметров в процессе наладки системы.

Методику построения области устойчивости при использовании критерия Рауса-Гурвица проиллюстрируем на примере системы автоматического управления, структурная схема которой показана на рисунке 2.1.
Задание.
Используя критерий Рауса-Гурвица построить область устойчивости в плоскости параметров (K, T₂) при следующих данных: Т₁ = 0,25 с; Т₃ = 0,1 с; ΔТ₂ = 0,05Т₂; коэффициент запаса устойчивости α = 3.

Рисунок 2.1

Решение. Записываем характеристическое уравнение по правилу: сумма многочленов числителя и знаменателя передаточной функции прямого канала равна нулю:
.

Имеем уравнение третьей степени. согласно (2.3) записываем условие устойчивости:

откуда:
Граница между областью устойчивости и неустойчивости в плоскости параметров K и T₂ определяется уравнениями:
.

которые при с и с принимают вид:

с и .


границы области устойчивости показаны на рисунке 2.2.



Рисунок 2.2
Система будет устойчивой при любых настройках и любых значениях K, лежащих ниже значений . При любых других значениях T₂ и K система неустойчива.
Система склонна к неустойчивости при значениях коэффициента K близких к граничным и при неблагоприятных изменениях постоянных времени T₁ и T₃ может потерять устойчивость. Необходимо учитывать и то, что структурная схема, показанная на рисунке 2.1, является лишь представлением о динамике реальной системы. Поэтому на номограммах выделяют область допустимых значений параметров, при которых в реальной системе гарантируется соблюдение условий устойчивости. В данной задаче граница этой области при и определяется равенством:


.
Упражнения:
17. Построить область устойчивости системы (рисунок 2.1) в плоскости параметров (K, T₂) при с; с; и .
18. Дано характеристическое уравнение системы, содержащей внутренний контур обратной связи с коэффициентом связи K_о.с : где К – регулируемый коэффициент прямого канала системы. используя критерий Рауса-Гурвица, построить область устойчивости в плоскости параметров (К_о.с , К) при настройке коэффициента в пределах: 0 < K_о.с < 1.
Ответ: Для правильно построенной области K_кр = 40,4 при K_о.с = 0,5.

2.3 Исследование устойчивости по критерию Михайлова

Критерий Михайлова относится к частотным методам анализа систем и позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по поведению годографа характеристического вектора (годографа Михайлова) на комплексной плоскости.

Характеристический вектор получают путем замены в характеристическом уравнении (2.1) оператора s на :


(2.4)

По Михайлову система устойчива, если при изменении от нуля до бесконечности характеристический вектор обходит последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) n-квадрантов комплексной плоскости, где n – степень характеристического вектора.

Годограф Михайлова начинается при в точке a_n на вещественной оси и уходит в бесконечность в соответствующем квадранте. Изменение значения a_n вызывает только смещение годографа вдоль горизонтальной оси. Это позволяет сравнительно легко определить диапазон изменения a_n, при котором система будет устойчивой. Система находится на границе устойчивости, если годограф проходит через начало координат и при небольшом уменьшении значения a_n годограф сместится и будет последовательно проходить
n–квадрантов.


Пример определения диапазона изменения коэффициента усиления следящего электропривода по критерию Михайлова. Характеристическое уравнение электропривода задано в виде:





Решение. Подставим в характеристическое уравнение . Получим:
,
где ; .
Приравняем и нулю: Находим корни уравнения с^-1; c^-1; с^-1.
Подставляя поочередно эти значения в уравнение , получим три критических значения коэффициента усиления разомкнутого привода: .
Значение противоречит физическому смыслу, а отрицательное значение указывает на неправильное соединение элементов в системе и должны быть отброшены. Следовательно, коэффициент усиления разомкнутой системы необходимо выбирать из диапазона: .

жүктеу/скачать 8,53 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: