Группа entglobus. Kz vk. Com/entglobus kz

 

группа ENTGLOBUS.KZ                                                                       VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 

1 

 

Қазақстан Республикасы 

 

 

            

 

 

 

 

 

 

Э Л Е М Е Н Т А Р 

 М А Т Е М А Т И К А Н Ы Ң 

 Н Е Г І З Г І  

Ф О Р М У Л А Л А Р Ы 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ENTGLOBUS 

 

группа ENTGLOBUS.KZ                                                                       VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 

2 

M A 3 M Ұ H Ы

 

 

 

I. Арифметика.    Алгебра                                                                      Беті 

 

Сандар туралы 

мәліметтер….................................................................................................. 6 

Сандардың бөлінгіштік қасиеттepi  ............ ...............................................6 

Соңғы санды табу........................................................... ...............................7 

EYOЕ және ЕКОЕ.......................................................... ................................8 

Бөлгіштер саны............................................................ ..................................8 

Белшектер................................... ....................................................................8 

Пропорциялар........................... .....................................................................9 

Орта мән....................................... ................................................................10 

Проценттер................................................................. ..................................10 

Қыскаша көбейту формулалары................................. ...............................10 

Дәреженің, модулдің, түбірдің қасиеттері............... .................................11 

Арифметикалық прогрессия.................................... ...................................12 

Геометриялық прогрессия................................... .......................................12 

Keiйбip қосындылар.............................................. ......................................13 

Логарифмдер....................................................... .........................................13 

            

II. Теңдеулер және теңсіздіктер 

 

Сызықты тендеулер.................................................... .................................14 

Квадраттық теңдеулер........................................ .........................................14 

Квадраттық теңсіздер............................................ ......................................15 

Биквадрат тендеулер............................................... ....................................15 

Модулмен берілген тендеулер............................... ....................................15 

Модулмен берілген теңсіздіктер.................................................................16 

Иррациональ тендеулер............................................. .................................16 

Иррациональ теңсізздіктер......................................... ................................17 

Керсеткіштік тендеулер мен теңсіздіктер............. ...................................17 

Логарифмдік тендеулер мен теңсіздіктер............... ..................................17 

         

 

 

 

 

 

группа ENTGLOBUS.KZ                                                                       VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 

3 

 

III. Функция. Туынды, Интеграл. 

 

Квадраттық функция................. ..................................................................18 

Көрсеткіштік функция.................................................................................18 

Логарифмдік функция..................................................................................19 

Кейбір функциялардың аныкталу облысы.................................................19 

Kей6ip функциялардын мәндер облысы....................................................20 

Жұптығы және тақтығы...............................................................................20 

Периодтылығы..............................................................................................21 

Kepi тригонометриялык функциялар..........................................................21 

Туынды..........................................................................................................21 

Жанама теңдеуі.............................................................................................21 

Функциялардың ең үлкен және ең кiші мәндерін.....................................22 

Интеграл........................................................................................................22 

                     

  IV. Тригонометрия 

 

Негізгі тригонометриялық функциялар......................................................24 

Heгізri тригонометриялык теңдіктер..........................................................24 

Тригонометриялық функциялардың бipiн eкіншici арқылы өрнектеу........ 

формулалары.................................................................................................24 

Қосу формулалары.......................................................................................24 

Қос бұрыштық формулалары......................................................................25 

Жарты бұрыш формулалары.......................................................................25 

Дәрежені төмендету формулалары.............................................................25 

Көбейтіндіні қосындыға келтіру.................................................................26 

Қосындыны көбейтіндіге келтіру...............................................................26 

Келтіру формулалар.....................................................................................27 

Kepi тригонометриялық функциялар.........................................................27 

Тригонометриялық теңдеулер. Дербес жағдайы.......................................28 

Тригонометриялык теңсіздіктер.................................................................29 

                        

 V. Планиметрия 

Бұрыштар....................................................................... ...............................30 

Үшбұрыш. Биіктік, медиана, биссектриса................ ................................30 

Іштей және сырттай сызылған шенбер.......................................................32 

Үшбұрыштың ауданы..................................................................................32 

Синустар, косинустар теоремасы................................................................33 

Дербес жағдайлары.......................................................................................33 

 

группа ENTGLOBUS.KZ                                                                       VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 

4 

Трапеция, параллелограмм, ромб...............................................................35 

Іштей және сырттай сызылған шеңбер.......................................................36 

Көпбұрыштар................................................................................................37 

Дұрыс көпбұрыштар. Дербес жағдайы.......................................................37 

Шеңбердегі бұрыштар..................................................................................38 

Доға, сектор, сегмент, денгелек..................................................................39 

Түзу. Шеңбер................................................................................................39 

Векторлар......................................................................................................40 

 

VI. Стереометрия  

Көпжактар (призма, пирамида,дербес жағдайы).......................................41 

Цилиндр.........................................................................................................44 

Конус..............................................................................................................44 

Қиык конус....................................................................................................45 

Шар (сегмент, сектор)..................................................................................45 

 

VII. Кестелер  

Тригонометриялық функциялардың кейбір кестелік мәндері.................46 

Алғашкы функциялар кестесі.....................................................................47 

Элементар функциялардың туындылары..................................................47 

Дұрыс көпжақтардың элементтері.............................................................48 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

группа ENTGLOBUS.KZ                                                                       VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 

5 

 

 

1. Арифметика.          Алгебра. 

 

 Сандар турлы мәліметтер 

 

1) Натурал сандар: 





N

N

N







1

;

0

,

,...

4

,

3

,

2

,

1

 

2) Бүтін сандар: 





,...

100

,...,

3

,

2

,

1

,

0

,

1

,

2

,

3

,...,

100

...,











Z

 

3) Рационалсандар: 



















N

n

Z

m

n

m

Q

,

:

 

 

Санның бөлінгіштік қасиеттері 

 



 

2 ге: 0,2,4,6,8 сандардың бірінде аяқталады. 



 

3 ке: сандардың қосындысы 3 ке бөлінсе.  



 

4 ке: соңғы екі сан 0 балса, немесе 4 ке бөлінсе. 



 

5 ке: соңғы сан 0 немесе 5 болса. 



 

6 ға: 2 мен 3 ке бөлінгіштік қасиеттері бір уақытта 

ескеріледі.  



 

8 ге: соңғы үш сан нөл болса, немесе 8 ге бөлінсе 



 

9 ға: сандар қосындысы 9 ға бөлінсе.  



 

10 ға: соңғы сан 0 болса.  



 

11 ге: тақ орындардағы сандар қосындысы мен жұп 

орындардағы сандар қосындысының айырмасы 0 болса, 

немесе 11 ге бөлінсе.  

    Мысалы. 

11

)

2

3

8

(

)

4

4

7

9

(

9873424















 



 

25 ке: соңғы екі сан 0 болса немесе 25 ке бөлінсе. 

Ескерту: Қалған сандардың бөлінгіштік қасиеттері 

олардың бөлінгіштік қасиеттері анықталған  “өзара жай” 

сандарға жіктеу арқылы табылады. Мысалы.  

.

6

2

4

3

12









 

Демек бір уақытта 3-ке және 4-ке бөлінгіштік қасиеттері 

ескеріледі.  

 

 

 

 

группа ENTGLOBUS.KZ                                                                       VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 

6 

 

 

Соңғы санды табу. 

 



 

2 нің :1- ші жәрежесі  «2» мен 2-ші дәрежесі «4» пен, 3- 

ші дәрежесі «8» бен, 4-ші дәрежесі «6» мен аяқталады. 

2 нің кез келген 4 ке еселік дәрежесі «6» мен аяталады.  

Мысалы.

.

4

...

4

...

6

...

2

2

2

2

2

500

4

2

500

4

2002



















 



 

3 тің: 1-ші дәрежесі «3» пен, 2-ші дәрежесі «9» бен, 3-ші 

дәрежесі «7» мен, 4-ші дәрежесі «1» мен аяқталады. 

3 тің кез келген 4 ке еселі жәрежесі «1» мен аяқталады. 

Мысалы: 

1998

3

 нің соңғы санын табу. 

                       

.

9

...

9

...

1

...

3

3

3

3

2

499

4

2

499

4

1998



















 



 

4 тің: кез – келген жұп дәрежесі «6» мен, кез келген тақ 

дәрежесі  «4» мен аяқталады. 

Мысалы.

2002

4

 

 

нің соңғы саны -6,

2003

4

 нің соңғы саны -4.  



 

5 тің кез келген дәрежесі «5» пен аяқталады. 



 

6 ның кез келген дәрежесі «6» мен аяқталады. 



 

7 нің: 1-ші дәрежесі «7» мен, 2-ші дәрежесі «9» бен, 3- ші  

дәрежесі «3» пен, 4-ші дәрежесі «1» мен аяқталады. 

7 нің кез-келген 4 ке еселі дәрежесі «1» мен аяқталады. 

Мысалы. 

2003

7

 нің соңғы санын табу. 

         

.

3

...

3

...

1

...

7

7

7

7

3

500

4

3

500

4

2003



















   



 

8 дің: 1-ші дәрежесі «1» мен, 2- ші дәрежесі «4» пен, 3-ші 

дәрежесі «2» мен, 4- ші дәрежесі «6» мен аяқталады. 

8 дің кез келген 4 ке еселі дәрежесі «6» мен аяқталаады. 

Мысал 

1998

8

 

нің соңғы санын табу. 

6

...

8

8

499

4

1996







  

 



 

9 дың кез келген жұп дәрежесі «1» мен , кез келген тақ 

дәрежесі 9 бен аяқталады.  

Мысал.

2002

9

нің соңғы саны -1, 

2003

9

 нің соңғы саны -9. 

 

 

 

 

 

группа ENTGLOBUS.KZ                                                                       VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 

7 

 

 

 

ЕҮОБ және ЕКОЕ 

 



 

Бірнеше сандардың ортақ бөлгіші деп, сол сандардың 

әрқайсысы бөлінетін санға айтады. 

Осындай сандардың ең үлкені ЕҮОБ деп аталады. 

Мысалы. 270,300,315 сандарының ЕҮОБ – ін тап. 

2

2

3

5

3

2

300

,

5

3

2

270













 

,

7

5

3

315

2







    ЕҮОБ  





15

5

3

315

,

300

,

270







  



 

Егер бірнеше сандардың ЕҮОБ-і 1 – ге тең болса, онда олар 

өзара жай сандар деп аталады. 



 

Бірнеше сандардың отақ еселігі деп, сол сандардың 

әрқайсысына бөлінетін санды айтады. 

    Осындай сандардың ең кішісі ЕКОЕ деп аталады. 

    Мысал. 270,300, 315 сандарының ЕКОЕ – ін тап.  

   

7

5

3

315

5

3

2

300

5

3

2

270

2

2

2

3



















 

               ЕКОЕ 





18900

7

5

3

2

315

,

300

,

270

2

3

2











 

 

 

Бөлгіш сандар 

       Бөлгіштер санын анықтау үшін  



 

Берілген  а сан жай көбейткіштерге жіктеледі, яғни  

   

k

n

k

n

n

n

a

a

a

a

a











....

3

2

1

3

2

1

  



 





)

1

(

...

1

)

1

(

2

1















k

n

n

n

d

 өрнектің мәні табылады, мұнда 

d- бөлгіштер санын білдіреді. 

 Мысал: 540-тың бөлгіштер санын анықтау. 

24

2

4

3

)

1

1

(

)

1

3

(

)

1

2

(

5

3

2

540

1

3

2





























d

 

 

Бөлшектер. 



 

Қалдықты бөлу 

                              





p

r

r

q

а











0

,



 

 

 

группа ENTGLOBUS.KZ                                                                       VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 

8 

Мұндағы а-бөлінгіш, р-бөлгіш, q-қалдық, r-бөлінді 



 

Бөлшектерді қосу және азайту. 

Бөлімдері бірдей болғанда 

b

c

a

b

c

d

а







 

Бөлімдері әртүрлі болған  

bd

bc

ad

d

c

b

а







 

                    Бөлшектерді  көбейту және бөлу 

          

d

b

c

a

d

c

b

а









                      

c

b

d

a

c

d

b

a

d

c

b

a











:

 

              

                     Оң бөлшектерді салыстыру 

 



 

Егер бөлшектерді алымы бір-біріне тең болса, бөлімі кіші 

болған бөлшек үлкен болады. 



 

Егер бөлшектердің бөлімі бір-біріне тең болса, онда алымы 

үлкен болған бөлшек болады. 

    

b

a

 және 

d

с

. бөлшектерді салыстыру 

     Егер 

c

b

d

a







 болса, онда 

d

c

b

a 

. 

     Егер 

c

b

d

a







 болса, онда 

d

c

b

a 

. 

 

Периодты бөлшектер, оларды жәй бөлшектерге 

айналдыру 

 

Формуласы:    





0

...

900

...

99

...

...

...

...

...

,

1

1

1

1

1

k

n

k

n

k

b

b

c

c

b

b

a

c

c

b

b

a





 

Мысалдар: 

),...

06

(

12

,

15

;

)

21

(

,

1

;

)

3

(

,

0

 

99000

2015

2

99000

020

02035

2

)

35

(

020

,

2

999

124

2

)

124

(

,

2







